(|x^2-4*x|+3)/(x^2+|x|+5)>=1 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: (|x^2-4*x|+3)/(x^2+|x|+5)>=1 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[src]
| 2 | |x - 4*x| + 3 -------------- >= 1 2 x + |x| + 5
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \left(- x^{2} - \left|{x}\right| + \left|{x \left(x - 4\right)}\right| - 2\right) = 0$$
$$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x^{2} - 4 x}\right|$$
Дано уравнение:
$$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае
зн. получим ур-ние
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -0.666666666667$$
$$x_{1} = -0.666666666667$$
Данные корни
$$x_{1} = -0.666666666667$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-0.766666666667$$
=
$$-0.766666666667$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -0.666666666667$$
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \left(- x^{2} - \left|{x}\right| + \left|{x \left(x - 4\right)}\right| - 2\right) = 0$$
$$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x^{2} - 4 x}\right|$$
Дано уравнение:
$$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае
a1 = 3 + |x^2 - 4*x|
b1 = 5 + x^2 + |x|
a2 = 1
b2 = 1
зн. получим ур-ние
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
| 2 | 2 |x - 4*x| = 2 + x + |x|
Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -0.666666666667$$
$$x_{1} = -0.666666666667$$
Данные корни
$$x_{1} = -0.666666666667$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-0.766666666667$$
=
$$-0.766666666667$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
| 2 |
|-0.766666666667 - 4*-0.766666666667| + 3
------------------------------------------- >= 1
1
/ 2 \
\-0.766666666667 + |-0.766666666667| + 5/ 1.04721105088317 >= 1
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -0.666666666667$$
_____
\
-------•-------
x1
Решение неравенства на графике