(6*x-5)^2+(3*x-2)*(3*x+2)>36 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: (6*x-5)^2+(3*x-2)*(3*x+2)>36 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2 (6*x - 5) + (3*x - 2)*(3*x + 2) > 36
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} = 36$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} = 36$$
в
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} - 36 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} - 36 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$45 x^{2} - 60 x - 15 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 45$$
$$b = -60$$
$$c = -15$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{17}{30}$$
подставляем в выражение
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x > \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} = 36$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} = 36$$
в
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} - 36 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} - 36 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$45 x^{2} - 60 x - 15 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 45$$
$$b = -60$$
$$c = -15$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-60)^2 - 4 * (45) * (-15) = 6300
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
___ 2 \/ 7 1 - - ----- - -- 3 3 10
=
$$- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{17}{30}$$
подставляем в выражение
$$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
2 / / ___ \ \ / / ___ \ \ / / ___ \ \ | |2 \/ 7 1 | | | |2 \/ 7 1 | | | |2 \/ 7 1 | | |6*|- - ----- - --| - 5| + |3*|- - ----- - --| - 2|*|3*|- - ----- - --| + 2| > 36 \ \3 3 10/ / \ \3 3 10/ / \ \3 3 10/ /
2
/ 8 ___\ / 3 ___\ /37 ___\
|- - - 2*\/ 7 | + |- -- - \/ 7 |*|-- - \/ 7 | > 36
\ 5 / \ 10 / \10 /
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x > \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
/ / ___\ / ___ \\ | | 2 \/ 7 | | 2 \/ 7 || Or|And|-oo < x, x < - - -----|, And|x < oo, - + ----- < x|| \ \ 3 3 / \ 3 3 //
$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} < x\right)$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
___ ___
2 \/ 7 2 \/ 7
(-oo, - - -----) U (- + -----, oo)
3 3 3 3
$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$