(6*x-5)^2+(3*x-2)*(3*x+2)>36 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (6*x-5)^2+(3*x-2)*(3*x+2)>36 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             2                           
    (6*x - 5)  + (3*x - 2)*(3*x + 2) > 36
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} = 36$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} = 36$$
    в
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} - 36 = 0$$
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} - 36 = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$45 x^{2} - 60 x - 15 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 45$$
    $$b = -60$$
    $$c = -15$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-60)^2 - 4 * (45) * (-15) = 6300

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ___     
    2   \/ 7    1 
    - - ----- - --
    3     3     10

    =
    $$- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{17}{30}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(3 x - 2\right) \left(3 x + 2\right) + \left(6 x - 5\right)^{2} > 36$$
                            2                                                         
    /  /      ___     \    \    /  /      ___     \    \ /  /      ___     \    \     
    |  |2   \/ 7    1 |    |    |  |2   \/ 7    1 |    | |  |2   \/ 7    1 |    |     
    |6*|- - ----- - --| - 5|  + |3*|- - ----- - --| - 2|*|3*|- - ----- - --| + 2| > 36
    \  \3     3     10/    /    \  \3     3     10/    / \  \3     3     10/    /     

                   2                                   
    /  8       ___\    /  3      ___\ /37     ___\     
    |- - - 2*\/ 7 |  + |- -- - \/ 7 |*|-- - \/ 7 | > 36
    \  5          /    \  10        / \10        /     
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}$$
    $$x > \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                   ___\     /              ___    \\
      |   |             2   \/ 7 |     |        2   \/ 7     ||
    Or|And|-oo < x, x < - - -----|, And|x < oo, - + ----- < x||
      \   \             3     3  /     \        3     3      //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                ___           ___     
          2   \/ 7      2   \/ 7      
    (-oo, - - -----) U (- + -----, oo)
          3     3       3     3       
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$