81^x-10*9^(x+1)+729<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 81^x-10*9^(x+1)+729<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      x       x + 1          
    81  - 10*9      + 729 < 0
    $$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0$$
    или
    $$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 9^{x}$$
    получим
    $$v^{2} - 90 v + 729 = 0$$
    или
    $$v^{2} - 90 v + 729 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -90$$
    $$c = 729$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-90)^2 - 4 * (1) * (729) = 5184

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 81$$
    $$v_{2} = 9$$
    делаем обратную замену
    $$9^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (9 \right )}}$$
    $$x_{1} = 81$$
    $$x_{2} = 9$$
    $$x_{1} = 81$$
    $$x_{2} = 9$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 9$$
    $$x_{1} = 81$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{89}{10}$$
    =
    $$\frac{89}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0$$
      89       89              
      --       -- + 1          
      10       10              
    81   - 10*9       + 729 < 0

                       4/5                      3/5    
    729 - 11622614670*3    + 50031545098999707*3    < 0
        

    но
                       4/5                      3/5    
    729 - 11622614670*3    + 50031545098999707*3    > 0
        

    Тогда
    $$x < 9$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 9 \wedge x < 81$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(1 < x, x < 2)
    $$1 < x \wedge x < 2$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (1, 2)
    $$x \in \left(1, 2\right)$$