81^x-10*9^(x+1)+729<0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 81^x-10*9^(x+1)+729<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      x       x + 1          
    81  - 10*9      + 729 < 0
    81x109x+1+729<081^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    81x109x+1+729<081^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    81x109x+1+729=081^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0
    Решаем:
    Дано уравнение:
    81x109x+1+729=081^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0
    или
    81x109x+1+729=081^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0
    Сделаем замену
    v=9xv = 9^{x}
    получим
    v290v+729=0v^{2} - 90 v + 729 = 0
    или
    v290v+729=0v^{2} - 90 v + 729 = 0
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    v1=Db2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    v2=Db2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=90b = -90
    c=729c = 729
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-90)^2 - 4 * (1) * (729) = 5184

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    v1=81v_{1} = 81
    v2=9v_{2} = 9
    делаем обратную замену
    9x=v9^{x} = v
    или
    x=log(v)log(9)x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (9 \right )}}
    x1=81x_{1} = 81
    x2=9x_{2} = 9
    x1=81x_{1} = 81
    x2=9x_{2} = 9
    Данные корни
    x2=9x_{2} = 9
    x1=81x_{1} = 81
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x2x_{0} < x_{2}
    Возьмём например точку
    x0=x2110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
    =
    8910\frac{89}{10}
    =
    8910\frac{89}{10}
    подставляем в выражение
    81x109x+1+729<081^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0
      89       89              
      --       -- + 1          
      10       10              
    81   - 10*9       + 729 < 0

                       4/5                      3/5    
    729 - 11622614670*3    + 50031545098999707*3    < 0
        

    но
                       4/5                      3/5    
    729 - 11622614670*3    + 50031545098999707*3    > 0
        

    Тогда
    x<9x < 9
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x>9x<81x > 9 \wedge x < 81
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    0123456789-5-4-3-2-1100200000000000000000000
    Быстрый ответ [src]
    And(1 < x, x < 2)
    1<xx<21 < x \wedge x < 2
    Быстрый ответ 2 [src]
    (1, 2)
    x(1,2)x \in \left(1, 2\right)