81^x-10*9^(x+1)+729<0 (неравенство)

  x       x + 1          
81  - 10*9      + 729 < 0

$$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0$$

Дано неравенство:
$$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0$$
или
$$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 9^{x}$$
получим
$$v^{2} - 90 v + 729 = 0$$
или
$$v^{2} - 90 v + 729 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -90$$
$$c = 729$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-90)^2 - 4 * (1) * (729) = 5184

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 81$$
$$v_{2} = 9$$
делаем обратную замену
$$9^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (9 \right )}}$$
$$x_{1} = 81$$
$$x_{2} = 9$$
$$x_{1} = 81$$
$$x_{2} = 9$$
Данные корни
$$x_{2} = 9$$
$$x_{1} = 81$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{89}{10}$$
=
$$\frac{89}{10}$$
подставляем в выражение
$$81^{x} - 10 \cdot 9^{x + 1} + 729 < 0$$

  89       89              
  --       -- + 1          
  10       10              
81   - 10*9       + 729 < 0

                   4/5                      3/5    
729 - 11622614670*3    + 50031545098999707*3    < 0
    

но

                   4/5                      3/5    
729 - 11622614670*3    + 50031545098999707*3    > 0
    

Тогда
$$x < 9$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 9 \wedge x < 81$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

And(1 < x, x < 2)

$$1 < x \wedge x < 2$$

(1, 2)

$$x \in \left(1, 2\right)$$