2^(x+1)+17*2^(-x)<35 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^(x+1)+17*2^(-x)<35 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x + 1       -x     
2      + 17*2   < 35

$$2^{x + 1} + 17 \cdot 2^{- x} < 35$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x + 1} + 17 \cdot 2^{- x} < 35$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x + 1} + 17 \cdot 2^{- x} = 35$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x + 1} + 17 \cdot 2^{- x} = 35$$
или
$$\left(2^{x + 1} + 17 \cdot 2^{- x}\right) - 35 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$17 v - 35 + \frac{2}{v} = 0$$
или
$$17 v - 35 + \frac{2}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x + 1} + 17 \cdot 2^{- x} < 35$$
$$2^{- \frac{11}{10} + 1} + 17 \cdot 2^{\left(-1\right) \left(- \frac{11}{10}\right)} < 35$$

 9/10                
2          10___     
----- + 34*\/ 2  < 35
  2                  
     

но

 9/10                
2          10___     
----- + 34*\/ 2  > 35
  2                  
     

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

   /            log(17)\
And|-1 < x, x < -------|
   \             log(2)/

$$-1 < x \wedge x < \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

     log(17) 
(-1, -------)
      log(2) 

$$x\ in\ \left(-1, \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

График