4^x+11>=16 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x+11>=16 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 x           
4  + 11 >= 16

$$4^{x} + 11 \geq 16$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$4^{x} + 11 \geq 16$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} + 11 = 16$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} + 11 = 16$$
или
$$4^{x} + 11 - 16 = 0$$
или
$$4^{x} = 5$$
или
$$4^{x} = 5$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - 5 = 0$$
или
$$v - 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 5$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{1} = 5$$
Данные корни
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} + 11 \geq 16$$
$$11 + 4^{\frac{49}{10}} \geq 16$$

          4/5      
11 + 512*2    >= 16
      

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 5$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

   / log(5)              \
And|-------- <= x, x < oo|
   \2*log(2)             /

$$\frac{\log{\left (5 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}} \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

  log(5)      
[--------, oo)
 2*log(2)     

$$x \in \left[\frac{\log{\left (5 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$