x*(1+x)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x*(1+x)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

x*(1 + x) > 0

$$x \left(x + 1\right) > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$x \left(x + 1\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$x \left(x + 1\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x \left(x + 1\right) > 0$$
$$\frac{-11}{10} \left(- \frac{11}{10} + 1\right) > 0$$

 11    
--- > 0
100    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -1$$
$$x > 0$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-oo < x, x < -1), And(0 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -1\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -1) U (0, oo)

$$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(0, \infty\right)$$