3*x^2+6*|x|-6<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3*x^2+6*|x|-6<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2                
3*x  + 6*|x| - 6 < 0

$$3 x^{2} + 6 \left|{x}\right| - 6 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$3 x^{2} + 6 \left|{x}\right| - 6 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 x^{2} + 6 \left|{x}\right| - 6 = 0$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} - 1$$
но x2 не удовлетворяет неравенству

2.
$$x < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$3 x^{2} + 6 \left(- x\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$3 x^{2} - 6 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3}$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = - \sqrt{3} + 1$$


$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 1$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ___   1 
1 - \/ 3  - --
            10

=
$$- \sqrt{3} + \frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$3 x^{2} + 6 \left|{x}\right| - 6 < 0$$

                  2                             
  /      ___   1 \      |      ___   1 |        
3*|1 - \/ 3  - --|  + 6*|1 - \/ 3  - --| - 6 < 0
  \            10/      |            10|        

                     2              
  57     /9      ___\        ___    
- -- + 3*|-- - \/ 3 |  + 6*\/ 3  < 0
  5      \10        /               
    

но

                     2              
  57     /9      ___\        ___    
- -- + 3*|-- - \/ 3 |  + 6*\/ 3  > 0
  5      \10        /               
    

Тогда
$$x < - \sqrt{3} + 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \sqrt{3} + 1 \wedge x < -1 + \sqrt{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /           ___        ___    \
And\x < -1 + \/ 3 , 1 - \/ 3  < x/

$$x < -1 + \sqrt{3} \wedge - \sqrt{3} + 1 < x$$

Быстрый ответ 2

       ___         ___ 
(1 - \/ 3 , -1 + \/ 3 )

$$x \in \left(- \sqrt{3} + 1, -1 + \sqrt{3}\right)$$

График