log((x-4)^2*(x-3)/48)^2/( ... g(5)^2)>log(x-1)^2/log(5) (неравенство)

Укажите решение неравенства: log((x-4)^2*(x-3)/48)^2/(log(5)^2)>log(x-1)^2/log(5) (множество решений неравенства)

Вы ввели

    /       2        \              
   2|(x - 4) *(x - 3)|              
log |----------------|      2       
    \       48       /   log (x - 1)
---------------------- > -----------
          2                 log(5)  
       log (5)                      

$$\frac{\log{\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 4\right)^{2}}{48} \right)}^{2}}{\log{\left(5 \right)}^{2}} > \frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{\log{\left(5 \right)}}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \log^{2}{\left (\frac{1}{48} \left(x - 4\right)^{2} \left(x - 3\right) \right )} > \frac{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \log^{2}{\left (\frac{1}{48} \left(x - 4\right)^{2} \left(x - 3\right) \right )} = \frac{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \log^{2}{\left (\frac{1}{48} \left(x - 4\right)^{2} \left(x - 3\right) \right )} = \frac{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (5 \right )} \log^{2}{\left (x - 1 \right )} + \log^{2}{\left (\frac{x^{3}}{48} - \frac{11 x^{2}}{48} + \frac{5 x}{6} - 1 \right )}\right) = 0$$
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (5 \right )} \log^{2}{\left (x - 1 \right )} + \log^{2}{\left (\frac{x^{3}}{48} - \frac{11 x^{2}}{48} + \frac{5 x}{6} - 1 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (\frac{x^{3}}{48} - \frac{11 x^{2}}{48} + \frac{5 x}{6} - 1 \right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \left(w^{2} - \log{\left (5 \right )} \log^{2}{\left (x - 1 \right )}\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$\frac{w^{2}}{\log^{2}{\left (5 \right )}} - \frac{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (5 \right )}} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = \frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}}$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (log(5)^(-2)) * (-log(-1 + x)^2/log(5)) = 4*log(-1 + x)^2/log(5)^3

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \sqrt{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}} \sqrt{\log{\left (5 \right )}}$$
$$w_{2} = - \sqrt{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}} \sqrt{\log{\left (5 \right )}}$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (\frac{x^{3}}{48} - \frac{11 x^{2}}{48} + \frac{5 x}{6} - 1 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 14.6536518356$$
$$x_{2} = 3.21984298648 - 2.15927692115 i$$
$$x_{3} = 0.730522455648 - 0.547598566403 i$$
$$x_{4} = 0.730522455648 + 0.547598566403 i$$
$$x_{5} = 5.62087822233$$
$$x_{6} = 3.21984298648 + 2.15927692115 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 14.6536518356$$
$$x_{2} = 5.62087822233$$
Данные корни
$$x_{2} = 5.62087822233$$
$$x_{1} = 14.6536518356$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$5.52087822233$$
=
$$5.52087822233$$
подставляем в выражение
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \log^{2}{\left (\frac{1}{48} \left(x - 4\right)^{2} \left(x - 3\right) \right )} > \frac{\log^{2}{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (5 \right )}} \log^{2}{\left (\frac{1}{48} \left(-4 + 5.52087822233\right)^{2} \left(-3 + 5.52087822233\right) \right )} > \frac{\log^{2}{\left (-1 + 5.52087822233 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$

4.4437389500759                   
---------------   2.27619461501098
       2        > ----------------
    log (5)            log(5)     
                   

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 5.62087822233$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 5.62087822233$$
$$x > 14.6536518356$$

Быстрый ответ

And(-oo < x, x < oo)

$$-\infty < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(-oo, oo)

$$x \in \left(-\infty, \infty\right)$$