2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
         2                  
    2*cos (x) + 2*sin(x) > 2
    2sin(x)+2cos2(x)>22 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} > 2
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    2sin(x)+2cos2(x)>22 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} > 2
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    2sin(x)+2cos2(x)=22 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 2
    Решаем:
    Дано уравнение
    2sin(x)+2cos2(x)=22 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 2
    преобразуем
    2(1sin(x))sin(x)=02 \cdot \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = 0
    2sin2(x)+2sin(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} = 0
    Сделаем замену
    w=sin(x)w = \sin{\left(x \right)}
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    w1=Db2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    w2=Db2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=2a = -2
    b=2b = 2
    c=0c = 0
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (2)^2 - 4 * (-2) * (0) = 4

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    w1=0w_{1} = 0
    Упростить
    w2=1w_{2} = 1
    Упростить
    делаем обратную замену
    sin(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
    Дано уравнение
    sin(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    x=2πn+asin(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
    x=2πnasin(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
    Или
    x=2πn+asin(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
    x=2πnasin(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    x1=2πn+asin(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
    x1=2πn+asin(0)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}
    x1=2πnx_{1} = 2 \pi n
    x2=2πn+asin(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
    x2=2πn+asin(1)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}
    x2=2πn+π2x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}
    x3=2πnasin(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
    x3=2πnasin(0)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi
    x3=2πn+πx_{3} = 2 \pi n + \pi
    x4=2πnasin(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
    x4=2πnasin(1)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi
    x4=2πn+π2x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}
    x1=0x_{1} = 0
    x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
    x1=0x_{1} = 0
    x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
    Данные корни
    x1=0x_{1} = 0
    x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x1x_{0} < x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    110+0- \frac{1}{10} + 0
    =
    110- \frac{1}{10}
    подставляем в выражение
    2sin(x)+2cos2(x)>22 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} > 2
    2sin(110)+2cos2(110)>22 \sin{\left(- \frac{1}{10} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} \right)} > 2
                        2          
    -2*sin(1/10) + 2*cos (1/10) > 2
        

    Тогда
    x<0x < 0
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x>0x<π2x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2}
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x_1      x_2
    Решение неравенства на графике
    0-60-50-40-30-20-101020304050605-5
    Быстрый ответ [src]
       /                    pi\
    And|x > 0, x < pi, x != --|
       \                    2 /
    x>0x<πxπ2x > 0 \wedge x < \pi \wedge x \neq \frac{\pi}{2}
    Быстрый ответ 2 [src]
        pi     pi     
    (0, --) U (--, pi)
        2      2      
    x in (0,π2)(π2,π)x\ in\ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)
    График
    2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/c/4d/433627a6186297b01194ce2b4b3d5.png