Дано неравенство: 2sin(x)+2cos2(x)>2 Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние: 2sin(x)+2cos2(x)=2 Решаем: Дано уравнение 2sin(x)+2cos2(x)=2 преобразуем 2⋅(1−sin(x))sin(x)=0 −2sin2(x)+2sin(x)=0 Сделаем замену w=sin(x) Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения: w1=2aD−b w2=2a−D−b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к. a=−2 b=2 c=0 , то
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (-2) * (0) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или w1=0 Упростить w2=1 Упростить делаем обратную замену sin(x)=w Дано уравнение sin(x)=w - это простейшее тригонометрическое ур-ние Это ур-ние преобразуется в x=2πn+asin(w) x=2πn−asin(w)+π Или x=2πn+asin(w) x=2πn−asin(w)+π , где n - любое целое число подставляем w: x1=2πn+asin(w1) x1=2πn+asin(0) x1=2πn x2=2πn+asin(w2) x2=2πn+asin(1) x2=2πn+2π x3=2πn−asin(w1)+π x3=2πn−asin(0)+π x3=2πn+π x4=2πn−asin(w2)+π x4=2πn−asin(1)+π x4=2πn+2π x1=0 x2=2π x1=0 x2=2π Данные корни x1=0 x2=2π являются точками смены знака неравенства в решениях. Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: x0<x1 Возьмём например точку x0=x1−101 = −101+0 = −101 подставляем в выражение 2sin(x)+2cos2(x)>2 2sin(−101)+2cos2(−101)>2
2
-2*sin(1/10) + 2*cos (1/10) > 2
Тогда x<0 не выполняется значит одно из решений нашего неравенства будет при: x>0∧x<2π