2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         2                  
    2*cos (x) + 2*sin(x) > 2
    $$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} > 2$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} > 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
    преобразуем
    $$2 \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
    $$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -2$$
    $$b = 2$$
    $$c = 0$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (2)^2 - 4 * (-2) * (0) = 4

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = 0$$
    $$w_{2} = 1$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} > 2$$
    $$2 \sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (- \frac{1}{10} \right )} > 2$$
                        2          
    -2*sin(1/10) + 2*cos (1/10) > 2
        

    Тогда
    $$x < 0$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /           pi\
    And|0 < x, x < --|
       \           2 /
    $$0 < x \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
        pi 
    (0, --)
        2  
    $$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$