2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+2*sin(x)>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

     2                  
2*cos (x) + 2*sin(x) > 2

$$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} > 2$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 2$$
преобразуем
$$2 \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 2$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (-2) * (0) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} > 2$$
$$2 \sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (- \frac{1}{10} \right )} > 2$$

                    2          
-2*sin(1/10) + 2*cos (1/10) > 2
    

Тогда
$$x < 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

   /           pi\
And|0 < x, x < --|
   \           2 /

$$0 < x \wedge x < \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

    pi 
(0, --)
    2  

$$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$