(x+2)*(x+5)*(2*x+7)>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x+2)*(x+5)*(2*x+7)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (x + 2)*(x + 5)*(2*x + 7) > 0
    $$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 2 = 0$$
    $$x + 5 = 0$$
    $$2 x + 7 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x1 = -2
    2.
    $$x + 5 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -5$$
    Получим ответ: x2 = -5
    3.
    $$2 x + 7 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$2 x = -7$$
    Разделим обе части ур-ния на 2
    x = -7 / (2)

    Получим ответ: x3 = -7/2
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -5$$
    $$x_{3} = - \frac{7}{2}$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -5$$
    $$x_{3} = - \frac{7}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -5$$
    $$x_{3} = - \frac{7}{2}$$
    $$x_{1} = -2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{51}{10}$$
    =
    $$- \frac{51}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) > 0$$
    $$\left(- \frac{51}{10} + 2\right) \left(- \frac{51}{10} + 5\right) \left(\frac{-102}{10} 1 + 7\right) > 0$$
    -124     
    ----- > 0
     125     

    Тогда
    $$x < -5$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -5 \wedge x < - \frac{7}{2}$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x2      x3      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -5 \wedge x < - \frac{7}{2}$$
    $$x > -2$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-5 < x, x < -7/2), And(-2 < x, x < oo))
    $$\left(-5 < x \wedge x < - \frac{7}{2}\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-5, -7/2) U (-2, oo)
    $$x \in \left(-5, - \frac{7}{2}\right) \cup \left(-2, \infty\right)$$