(x+2)*(x+5)*(2*x+7)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+2)*(x+5)*(2*x+7)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

(x + 2)*(x + 5)*(2*x + 7) > 0

$$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 2 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$2 x + 7 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -2$$
Получим ответ: x1 = -2
2.
$$x + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x2 = -5
3.
$$2 x + 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = -7$$
Разделим обе части ур-ния на 2

x = -7 / (2)

Получим ответ: x3 = -7/2
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = - \frac{7}{2}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = - \frac{7}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = - \frac{7}{2}$$
$$x_{1} = -2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 2\right) \left(x + 5\right) \left(2 x + 7\right) > 0$$
$$\left(- \frac{51}{10} + 2\right) \left(- \frac{51}{10} + 5\right) \left(\frac{-102}{10} 1 + 7\right) > 0$$

-124     
----- > 0
 125     

Тогда
$$x < -5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -5 \wedge x < - \frac{7}{2}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x3      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -5 \wedge x < - \frac{7}{2}$$
$$x > -2$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-5 < x, x < -7/2), And(-2 < x, x < oo))

$$\left(-5 < x \wedge x < - \frac{7}{2}\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-5, -7/2) U (-2, oo)

$$x \in \left(-5, - \frac{7}{2}\right) \cup \left(-2, \infty\right)$$