Подробное решение
Дано неравенство:
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
преобразуем
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} = 0$$
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (- x + 5 \right )}$$
Дано уравнение:
$$\frac{1}{w} \sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
sqrt-4+x+2log8+x = 0
Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
sqrt(-4 + x^2)*log(8 + x) = 0
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} + 4 = 4$$
Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
$$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
Это уравнение вида:
log(v)=p
По определению log
v=e^p
тогда
w
-
1
-x + 5 = e
упрощаем
$$- x + 5 = e^{w}$$
$$- x = e^{w} - 5$$
$$x = - e^{w} + 5$$
подставляем w:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
/ 71\ _____________
log|8 - --| / 2
\ 10/ / /-71 \
--------------* / |----| - 4 >= 0
1/ -71 \ \/ \ 10 /
log |5 - ----|
\ 10 /
______
\/ 4641 *(-log(10) + log(9))
---------------------------- >= 0
10*(-log(10) + log(121))
но
______
\/ 4641 *(-log(10) + log(9))
---------------------------- < 0
10*(-log(10) + log(121))
Тогда
$$x \leq -7$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -7 \wedge x \leq -2$$
_____ _____
/ \ /
-------•-------•-------•-------
x1 x2 x3
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -7 \wedge x \leq -2$$
$$x \geq 2$$