log(8+x,5-x)*sqrt(x^2-4)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(8+x,5-x)*sqrt(x^2-4)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
                  ________     
    log(8 + x)   /  2          
    ----------*\/  x  - 4  >= 0
    log(5 - x)                 
    $$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
    преобразуем
    $$\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} = 0$$
    $$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (- x + 5 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{w} \sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
    получим:
    $$\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} = 0$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    sqrt-4+x+2log8+x = 0

    Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
    sqrt(-4 + x^2)*log(8 + x) = 0

    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    $$\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} + 4 = 4$$
    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
    $$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
              w
              -
              1
    -x + 5 = e 

    упрощаем
    $$- x + 5 = e^{w}$$
    $$- x = e^{w} - 5$$
    $$x = - e^{w} + 5$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -7$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{1} = -7$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -7$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{71}{10}$$
    =
    $$- \frac{71}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
        /    71\        _____________     
     log|8 - --|       /       2          
        \    10/      /  /-71 \           
    --------------*  /   |----|  - 4  >= 0
       1/    -71 \ \/    \ 10 /           
    log |5 - ----|                        
        \     10 /                        

      ______                         
    \/ 4641 *(-log(10) + log(9))     
    ---------------------------- >= 0
      10*(-log(10) + log(121))       
         

    но
      ______                        
    \/ 4641 *(-log(10) + log(9))    
    ---------------------------- < 0
      10*(-log(10) + log(121))      
        

    Тогда
    $$x \leq -7$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -7 \wedge x \leq -2$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------•-------•-------•-------
           x1      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \geq -7 \wedge x \leq -2$$
    $$x \geq 2$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-7 <= x, x <= -2), And(2 <= x, x < 4))
    $$\left(-7 \leq x \wedge x \leq -2\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x < 4\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    [-7, -2] U [2, 4)
    $$x \in \left[-7, -2\right] \cup \left[2, 4\right)$$