log(8+x,5-x)*sqrt(x^2-4)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(8+x,5-x)*sqrt(x^2-4)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[LaTeX]

              ________     
log(8 + x)   /  2          
----------*\/  x  - 4  >= 0
log(5 - x)                 

$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дано неравенство:
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
преобразуем
$$\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} = 0$$
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (- x + 5 \right )}$$
Дано уравнение:
$$\frac{1}{w} \sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

sqrt-4+x+2log8+x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

sqrt(-4 + x^2)*log(8 + x) = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$\sqrt{x^{2} - 4} \log{\left (x + 8 \right )} + 4 = 4$$
Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
$$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

          w
          -
          1
-x + 5 = e 

упрощаем
$$- x + 5 = e^{w}$$
$$- x = e^{w} - 5$$
$$x = - e^{w} + 5$$
подставляем w:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log{\left (x + 8 \right )}}{\log{\left (- x + 5 \right )}} \sqrt{x^{2} - 4} \geq 0$$

    /    71\        _____________     
 log|8 - --|       /       2          
    \    10/      /  /-71 \           
--------------*  /   |----|  - 4  >= 0
   1/    -71 \ \/    \ 10 /           
log |5 - ----|                        
    \     10 /                        

  ______                         
\/ 4641 *(-log(10) + log(9))     
---------------------------- >= 0
  10*(-log(10) + log(121))       
     

но

  ______                        
\/ 4641 *(-log(10) + log(9))    
---------------------------- < 0
  10*(-log(10) + log(121))      
    

Тогда
$$x \leq -7$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -7 \wedge x \leq -2$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -7 \wedge x \leq -2$$
$$x \geq 2$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

Or(And(-7 <= x, x <= -2), And(2 <= x, x < 4))

$$\left(-7 \leq x \wedge x \leq -2\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x < 4\right)$$

Быстрый ответ 2

[LaTeX]

[-7, -2] U [2, 4)

$$x \in \left[-7, -2\right] \cup \left[2, 4\right)$$