25^x-30*5^x+125>=0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 25^x-30*5^x+125>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      x       x           
    25  - 30*5  + 125 >= 0
    25x305x+125025^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    25x305x+125025^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    25x305x+125=025^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0
    Решаем:
    Дано уравнение:
    25x305x+125=025^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0
    или
    (25x305x+125)+0=0\left(25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125\right) + 0 = 0
    Сделаем замену
    v=5xv = 5^{x}
    получим
    v230v+125=0v^{2} - 30 v + 125 = 0
    или
    v230v+125=0v^{2} - 30 v + 125 = 0
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    v1=Db2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    v2=Db2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=30b = -30
    c=125c = 125
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-30)^2 - 4 * (1) * (125) = 400

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    v1=25v_{1} = 25
    Упростить
    v2=5v_{2} = 5
    Упростить
    делаем обратную замену
    5x=v5^{x} = v
    или
    x=log(v)log(5)x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}
    x1=25x_{1} = 25
    x2=5x_{2} = 5
    x1=25x_{1} = 25
    x2=5x_{2} = 5
    Данные корни
    x2=5x_{2} = 5
    x1=25x_{1} = 25
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0x2x_{0} \leq x_{2}
    Возьмём например точку
    x0=x2110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
    =
    110+5- \frac{1}{10} + 5
    =
    4910\frac{49}{10}
    подставляем в выражение
    25x305x+125025^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0
    3054910+125+2549100- 30 \cdot 5^{\frac{49}{10}} + 125 + 25^{\frac{49}{10}} \geq 0
                 9/10            4/5     
    125 - 18750*5     + 1953125*5    >= 0
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x5x \leq 5
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    x5x \leq 5
    x25x \geq 25
    Решение неравенства на графике
    0123456789-5-4-3-2-11001000000000000000
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(2 <= x, x < oo), x <= 1)
    (2xx<)x1\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x \leq 1
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 1] U [2, oo)
    x in (,1][2,)x\ in\ \left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)