25^x-30*5^x+125>=0 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: 25^x-30*5^x+125>=0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
или
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} - 30 v + 125 = 0$$
или
$$v^{2} - 30 v + 125 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -30$$
$$c = 125$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$v_{1} = 25$$
$$v_{2} = 5$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = 25$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 25$$
$$x_{2} = 5$$
Данные корни
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 25$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 5$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 5$$
$$x \geq 25$$
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
или
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} - 30 v + 125 = 0$$
или
$$v^{2} - 30 v + 125 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -30$$
$$c = 125$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-30)^2 - 4 * (1) * (125) = 400
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 25$$
$$v_{2} = 5$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = 25$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 25$$
$$x_{2} = 5$$
Данные корни
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 25$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
49 49 -- -- 10 10 25 - 30*5 + 125 >= 0
9/10 4/5
125 - 18750*5 + 1953125*5 >= 0
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 5$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 5$$
$$x \geq 25$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[src]
Or(And(2 <= x, x < oo), And(x <= 1, -oo < x))
$$\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 1 \wedge -\infty < x\right)$$
Быстрый ответ 2
[src]
(-oo, 1] U [2, oo)
$$x \in \left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$