Решите неравенство 25^x-30*5^x+125>=0 (25 в степени х минус 30 умножить на 5 в степени х плюс 125 больше или равно 0) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

25^x-30*5^x+125>=0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 25^x-30*5^x+125>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      x       x           
    25  - 30*5  + 125 >= 0
    $$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
    или
    $$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 5^{x}$$
    получим
    $$v^{2} - 30 v + 125 = 0$$
    или
    $$v^{2} - 30 v + 125 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -30$$
    $$c = 125$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-30)^2 - 4 * (1) * (125) = 400

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 25$$
    $$v_{2} = 5$$
    делаем обратную замену
    $$5^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
    $$x_{1} = 25$$
    $$x_{2} = 5$$
    $$x_{1} = 25$$
    $$x_{2} = 5$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 5$$
    $$x_{1} = 25$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{49}{10}$$
    =
    $$\frac{49}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$25^{x} - 30 \cdot 5^{x} + 125 \geq 0$$
      49       49           
      --       --           
      10       10           
    25   - 30*5   + 125 >= 0

                 9/10            4/5     
    125 - 18750*5     + 1953125*5    >= 0
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq 5$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq 5$$
    $$x \geq 25$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(2 <= x, x < oo), And(x <= 1, -oo < x))
    $$\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 1 \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 1] U [2, oo)
    $$x \in \left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: