9^(x+1/9)-4*3^(x+10/9)+27>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 9^(x+1/9)-4*3^(x+10/9)+27>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x + 1/9      x + 10/9          
9        - 4*3         + 27 >= 0

$$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 = 0$$
или
$$\left(- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$3^{\frac{2}{9}} v^{2} - 12 \cdot \sqrt[9]{3} v + 27 = 0$$
или
$$3^{\frac{2}{9}} v^{2} - 12 \cdot \sqrt[9]{3} v + 27 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3^{\frac{2}{9}}$$
$$b = - 12 \cdot \sqrt[9]{3}$$
$$c = 27$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-12*3^(1/9))^2 - 4 * (3^(2/9)) * (27) = 36*3^(2/9)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
Упростить
$$v_{2} = 3^{\frac{8}{9}}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 3^{\frac{8}{9}}$$
$$x_{2} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
$$x_{1} = 3^{\frac{8}{9}}$$
$$x_{2} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 3^{\frac{8}{9}}$$
$$x_{2} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3^{\frac{8}{9}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3^{\frac{8}{9}}$$
подставляем в выражение
$$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 \geq 0$$
$$- 4 \cdot 3^{\frac{10}{9} - \left(\frac{1}{10} - 3^{\frac{8}{9}}\right)} + 27 + 9^{\frac{1}{9} - \left(\frac{1}{10} - 3^{\frac{8}{9}}\right)} \geq 0$$

      1     8/9      91    8/9     
      -- + 3         -- + 3        
      90             90        >= 0
27 + 9          - 4*3              
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 3^{\frac{8}{9}}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 3^{\frac{8}{9}}$$
$$x \geq 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$

Быстрый ответ

  /   /   /   8/9\             \          / 8/9\\
  |   |log\3*3   /             |       log\3   /|
Or|And|----------- <= x, x < oo|, x <= ---------|
  \   \   log(3)               /         log(3) /

$$\left(\frac{\log{\left(3 \cdot 3^{\frac{8}{9}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x \leq \frac{\log{\left(3^{\frac{8}{9}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

         / 8/9\        /   8/9\     
      log\3   /     log\3*3   /     
(-oo, ---------] U [-----------, oo)
        log(3)         log(3)       

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(3^{\frac{8}{9}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right] \cup \left[\frac{\log{\left(3 \cdot 3^{\frac{8}{9}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)$$

График