9^(x+1/9)-4*3^(x+10/9)+27>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная


    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 9^(x+1/9)-4*3^(x+10/9)+27>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     x + 1/9      x + 10/9          
    9        - 4*3         + 27 >= 0
    $$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 \geq 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 = 0$$
    или
    $$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 3^{x}$$
    получим
    $$- 12 \sqrt[9]{3} v + \sqrt[9]{9} \left(v^{2}\right)^{1} + 27 = 0$$
    или
    $$3^{\frac{2}{9}} v^{2} - 12 \sqrt[9]{3} v + 27 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 3^{\frac{2}{9}}$$
    $$b = - 12 \sqrt[9]{3}$$
    $$c = 27$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-12*3^(1/9))^2 - 4 * (3^(2/9)) * (27) = 36*3^(2/9)

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
    $$v_{2} = 3^{\frac{8}{9}}$$
    делаем обратную замену
    $$3^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
    $$x_{1} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
    $$x_{2} = 3^{\frac{8}{9}}$$
    $$x_{1} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
    $$x_{2} = 3^{\frac{8}{9}}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 3^{\frac{8}{9}}$$
    $$x_{1} = 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + 3^{\frac{8}{9}}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + 3^{\frac{8}{9}}$$
    подставляем в выражение
    $$- 4 \cdot 3^{x + \frac{10}{9}} + 9^{x + \frac{1}{9}} + 27 \geq 0$$
      8/9   1    1       8/9   1    10          
     3    - -- + -      3    - -- + --          
            10   9             10   9           
    9              - 4*3               + 27 >= 0

          1     8/9      91    8/9     
          -- + 3         -- + 3        
          90             90        >= 0
    27 + 9          - 4*3              
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq 3^{\frac{8}{9}}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq 3^{\frac{8}{9}}$$
    $$x \geq 3 \cdot 3^{\frac{8}{9}}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(17/9 <= x, x < oo), And(x <= 8/9, -oo < x))
    $$\left(\frac{17}{9} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq \frac{8}{9} \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 8/9] U [17/9, oo)
    $$x \in \left(-\infty, \frac{8}{9}\right] \cup \left[\frac{17}{9}, \infty\right)$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: