(x+2)*(x^2+9*x+14)>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x+2)*(x^2+9*x+14)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
            / 2           \    
    (x + 2)*\x  + 9*x + 14/ > 0
    $$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 9 x + 14\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 9 x + 14\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 9 x + 14\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 9 x + 14\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 2 = 0$$
    $$x^{2} + 9 x + 14 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x1 = -2
    2.
    $$x^{2} + 9 x + 14 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 9$$
    $$c = 14$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (9)^2 - 4 * (1) * (14) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = -7$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{3} = -7$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{3} = -7$$
    Данные корни
    $$x_{3} = -7$$
    $$x_{1} = -2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{71}{10}$$
    =
    $$- \frac{71}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 9 x + 14\right) > 0$$
    $$\left(- \frac{71}{10} + 2\right) \left(\frac{-639}{10} 1 + \left(- \frac{71}{10}\right)^{2} + 14\right) > 0$$
    -2601     
    ------ > 0
     1000     

    Тогда
    $$x < -7$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -7 \wedge x < -2$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x3      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -7 \wedge x < -2$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-7 < x, x < -2), And(-2 < x, x < oo))
    $$\left(-7 < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-7, -2) U (-2, oo)
    $$x \in \left(-7, -2\right) \cup \left(-2, \infty\right)$$