x^2-4*x-3>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^2-4*x-3>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     2              
    x  - 4*x - 3 > 0
    $$x^{2} - 4 x - 3 > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$x^{2} - 4 x - 3 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x^{2} - 4 x - 3 = 0$$
    Решаем:
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -4$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (1) * (-3) = 28

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
    $$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
    $$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
    $$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
    $$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
    $$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \sqrt{7} + 2$$
    $$x_{1} = 2 + \sqrt{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ___   1 
    2 - \/ 7  - --
                10

    =
    $$- \sqrt{7} + \frac{19}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x^{2} - 4 x - 3 > 0$$
                    2                             
    /      ___   1 \      /      ___   1 \        
    |2 - \/ 7  - --|  - 4*|2 - \/ 7  - --| - 3 > 0
    \            10/      \            10/        

                       2              
      53   /19     ___\        ___    
    - -- + |-- - \/ 7 |  + 4*\/ 7  > 0
      5    \10        /               
        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \sqrt{7} + 2$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \sqrt{7} + 2$$
    $$x > 2 + \sqrt{7}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /                   ___\     /              ___    \\
    Or\And\-oo < x, x < 2 - \/ 7 /, And\x < oo, 2 + \/ 7  < x//
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{7} + 2\right) \vee \left(x < \infty \wedge 2 + \sqrt{7} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                ___           ___     
    (-oo, 2 - \/ 7 ) U (2 + \/ 7 , oo)
    $$x \in \left(-\infty, - \sqrt{7} + 2\right) \cup \left(2 + \sqrt{7}, \infty\right)$$