sqrt(x+8)<x+2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sqrt(x+8)<x+2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      _______        
    \/ x + 8  < x + 2
    $$\sqrt{x + 8} < x + 2$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sqrt{x + 8} < x + 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
    $$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$x + 8 = \left(x + 2\right)^{2}$$
    $$x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = -3$$
    $$c = 4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (-1) * (4) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 1$$

    Т.к.
    $$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
    и
    $$\sqrt{x + 8} \geq 0$$
    то
    $$x + 2 \geq 0$$
    или
    $$-2 \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sqrt{x + 8} < x + 2$$
    $$\sqrt{\frac{9}{10} + 8} < \frac{9}{10} + 2$$
      _____     
    \/ 890    29
    ------- < --
       10     10
         

    но
      _____     
    \/ 890    29
    ------- > --
       10     10
         

    Тогда
    $$x < 1$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > 1$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(1 < x, x < oo)
    $$1 < x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (1, oo)
    $$x \in \left(1, \infty\right)$$