sqrt(x+8)<x+2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x+8)<x+2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  _______        
\/ x + 8  < x + 2

$$\sqrt{x + 8} < x + 2$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\sqrt{x + 8} < x + 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
$$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x + 8 = \left(x + 2\right)^{2}$$
$$x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -3$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (-1) * (4) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$

Т.к.
$$\sqrt{x + 8} = x + 2$$
и
$$\sqrt{x + 8} \geq 0$$
то
$$x + 2 \geq 0$$
или
$$-2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x + 8} < x + 2$$
$$\sqrt{\frac{9}{10} + 8} < \frac{9}{10} + 2$$

  _____     
\/ 890    29
------- < --
   10     10
     

но

  _____     
\/ 890    29
------- > --
   10     10
     

Тогда
$$x < 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 1$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

And(1 < x, x < oo)

$$1 < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(1, oo)

$$x \in \left(1, \infty\right)$$