(1/5)^(-x-4)>1/(3*sqrt(5)) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/5)^(-x-4)>1/(3*sqrt(5)) (множество решений неравенства)

Вы ввели

 4 + x      1   
5      > -------
             ___
         3*\/ 5 

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{- x - 4} > \frac{1}{3 \sqrt{5}}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{- x - 4} > \frac{1}{3 \sqrt{5}}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{- x - 4} = \frac{1}{3 \sqrt{5}}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{- x - 4} = \frac{1}{3 \sqrt{5}}$$
или
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{- x - 4} - \frac{\sqrt{5}}{15} = 0$$
или
$$625 \cdot 5^{x} = \frac{\sqrt{5}}{15}$$
или
$$5^{x} = \frac{\sqrt{5}}{9375}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v - \frac{\sqrt{5}}{9375} = 0$$
или
$$v - \frac{\sqrt{5}}{9375} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v - sqrt5/9375 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v - sqrt(5)/9375)/v

v = 0 / ((v - sqrt(5)/9375)/v)

делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{9375}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{9375}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{9375}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{5}}{9375}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{5}}{9375}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{- x - 4} > \frac{1}{3 \sqrt{5}}$$

    /  ___     \              
    |\/ 5    1 |              
 - -|----- - --| + 4          
    \ 9375   10/          1   
5                    > -------
                           ___
                       3*\/ 5 

        ___     ___
 39   \/ 5    \/ 5 
 -- + ----- > -----
 10    9375     15 
5             

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{\sqrt{5}}{9375}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /            /           1    \    \
   |            |        --------|    |
   |            |        2*log(5)|    |
And\x < oo, -log\17578125        / < x/

$$x < \infty \wedge - \log{\left (17578125^{\frac{1}{2 \log{\left (5 \right )}}} \right )} < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(17578125)      
(---------------, oo)
     2*log(5)        

$$x \in \left(- \frac{\log{\left (17578125 \right )}}{2 \log{\left (5 \right )}}, \infty\right)$$