Решите неравенство log(13-4*x)/log(1/25)>=log(4-x)/log(1/5) (логарифм от (13 минус 4 умножить на х) делить на логарифм от (1 делить на 25) больше или равно логарифм от (4 минус х) делить на логарифм от (1 делить на 5)) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

log(13-4*x)/log(1/25)>=log(4-x)/log(1/5) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(13-4*x)/log(1/25)>=log(4-x)/log(1/5) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    log(13 - 4*x)    log(4 - x)
    ------------- >= ----------
      log(1/25)       log(1/5) 
    $$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} \geq \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} \geq \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \frac{1}{2} \log{\left (- 4 x + 13 \right )} + \log{\left (- x + 4 \right )}\right) = 0$$
    $$- \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}} + \frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (25 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$- \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}} + \frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(4 - x)

    b1 = log(5)

    a2 = log(13 - 4*x)

    b2 = log(25)

    зн. получим ур-ние
    $$\log{\left (25 \right )} \log{\left (- x + 4 \right )} = \log{\left (5 \right )} \log{\left (- 4 x + 13 \right )}$$
    $$\log{\left (25 \right )} \log{\left (- x + 4 \right )} = \log{\left (5 \right )} \log{\left (- 4 x + 13 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log25log4+x = log(5)*log(13 - 4*x)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log25log4+x = log5log13+4*x

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (25 \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = 3$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = 3$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} \geq \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
       /     4*9\                 
    log|13 - ---|                 
       \      10/    log(4 - 9/10)
    ------------- >= -------------
         1                1       
      log (1/25)       log (1/5)  

    -(-log(5) + log(47))     -(-log(10) + log(31)) 
    --------------------- >= ----------------------
           log(25)                   log(5)        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq 1$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq 1$$
    $$x \geq 3$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(x <= 1, -oo < x), x = 3)
    $$\left(x \leq 1 \wedge -\infty < x\right) \vee x = 3$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 1] U {3}
    $$x \in \left(-\infty, 1\right] \cup \left\{3\right\}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: