log(13-4*x)/log(1/25)>=log(4-x)/log(1/5) (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(13-4*x)/log(1/25)>=log(4-x)/log(1/5) (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(13 - 4*x)    log(4 - x)
------------- >= ----------
  log(1/25)       log(1/5) 

$$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} \geq \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} \geq \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \frac{1}{2} \log{\left (- 4 x + 13 \right )} + \log{\left (- x + 4 \right )}\right) = 0$$
$$- \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}} + \frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (25 \right )}$$
Дано уравнение:
$$- \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}} + \frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(4 - x)

b1 = log(5)

a2 = log(13 - 4*x)

b2 = log(25)

зн. получим ур-ние
$$\log{\left (25 \right )} \log{\left (- x + 4 \right )} = \log{\left (5 \right )} \log{\left (- 4 x + 13 \right )}$$
$$\log{\left (25 \right )} \log{\left (- x + 4 \right )} = \log{\left (5 \right )} \log{\left (- 4 x + 13 \right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log25log4+x = log(5)*log(13 - 4*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log25log4+x = log5log13+4*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\log{\left (25 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\log{\left (- 4 x + 13 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{25} \right )}} \geq \frac{\log{\left (- x + 4 \right )}}{\log{\left (\frac{1}{5} \right )}}$$

   /     4*9\                 
log|13 - ---|                 
   \      10/    log(4 - 9/10)
------------- >= -------------
     1                1       
  log (1/25)       log (1/5)  

-(-log(5) + log(47))     -(-log(10) + log(31)) 
--------------------- >= ----------------------
       log(25)                   log(5)        

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 3$$

Быстрый ответ

Or(And(x <= 1, -oo < x), x = 3)

$$\left(x \leq 1 \wedge -\infty < x\right) \vee x = 3$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 1] U {3}

$$x \in \left(-\infty, 1\right] \cup \left\{3\right\}$$