x+1/x<=2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x+1/x<=2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
        1     
    x + - <= 2
        x     
    $$x + \frac{1}{x} \leq 2$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x + \frac{1}{x} \leq 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x + \frac{1}{x} = 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$x + \frac{1}{x} = 2$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    и x
    получим:
    $$x \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2 x$$
    $$x^{2} + 1 = 2 x$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$x^{2} + 1 = 2 x$$
    в
    $$x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -2$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2)^2 - 4 * (1) * (1) = 0

    Т.к. D = 0, то корень всего один.
    x = -b/2a = --2/2/(1)

    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x + \frac{1}{x} \leq 2$$
    $$\frac{9}{10} + \frac{1}{\frac{9}{10}} \leq 2$$
    181     
    --- <= 2
     90     

    но
    181     
    --- >= 2
     90     

    Тогда
    $$x \leq 1$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq 1$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < 0), x = 1)
    $$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee x = 1$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, 0) U {1}
    $$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left\{1\right\}$$