x+1/x<=2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+1/x<=2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

    1     
x + - <= 2
    x     

$$x + \frac{1}{x} \leq 2$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$x + \frac{1}{x} \leq 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + \frac{1}{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + \frac{1}{x} = 2$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2 x$$
$$x^{2} + 1 = 2 x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 1 = 2 x$$
в
$$x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (1) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

x = -b/2a = --2/2/(1)

$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + \frac{1}{x} \leq 2$$
$$\frac{9}{10} + \frac{1}{\frac{9}{10}} \leq 2$$

181     
--- <= 2
 90     

но

181     
--- >= 2
 90     

Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 1$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-oo < x, x < 0), x = 1)

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee x = 1$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, 0) U {1}

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left\{1\right\}$$