x^3+4*x^2+2*x-4<=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x^3+4*x^2+2*x-4<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     3      2               
    x  + 4*x  + 2*x - 4 <= 0
    $$2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 \leq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$
    Данные корни
    $$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
           ___   1 
    -1 - \/ 3  - --
                 10

    =
    $$- \sqrt{3} - \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 \leq 0$$
                     3                      2                               
    /       ___   1 \      /       ___   1 \      /       ___   1 \         
    |-1 - \/ 3  - --|  + 4*|-1 - \/ 3  - --|  + 2*|-1 - \/ 3  - --| - 4 <= 0
    \             10/      \             10/      \             10/         

                         3                             2     
      31   /  11     ___\        ___     /  11     ___\      
    - -- + |- -- - \/ 3 |  - 2*\/ 3  + 4*|- -- - \/ 3 |  <= 0
      5    \  10        /                \  10        /      
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \sqrt{3} - 1$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------•-------•-------•-------
           x3      x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \sqrt{3} - 1$$
    $$x \geq -2 \wedge x \leq -1 + \sqrt{3}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                     ___\     /            ___         \\
    Or\And\-2 <= x, x <= -1 + \/ 3 /, And\x <= -1 - \/ 3 , -oo < x//
    $$\left(-2 \leq x \wedge x \leq -1 + \sqrt{3}\right) \vee \left(x \leq - \sqrt{3} - 1 \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                 ___                ___ 
    (-oo, -1 - \/ 3 ] U [-2, -1 + \/ 3 ]
    $$x \in \left(-\infty, - \sqrt{3} - 1\right] \cup \left[-2, -1 + \sqrt{3}\right]$$