x^3+4*x^2+2*x-4<=0 (неравенство) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼 Укажите решение неравенства: x^3+4*x^2+2*x-4<=0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:2 x + x 3 + 4 x 2 − 4 ≤ 0 2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 \leq 0 2 x + x 3 + 4 x 2 − 4 ≤ 0 Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:2 x + x 3 + 4 x 2 − 4 = 0 2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 = 0 2 x + x 3 + 4 x 2 − 4 = 0 Решаем:x 1 = − 2 x_{1} = -2 x 1 = − 2 x 2 = − 1 + 3 x_{2} = -1 + \sqrt{3} x 2 = − 1 + 3 x 3 = − 3 − 1 x_{3} = - \sqrt{3} - 1 x 3 = − 3 − 1 x 1 = − 2 x_{1} = -2 x 1 = − 2 x 2 = − 1 + 3 x_{2} = -1 + \sqrt{3} x 2 = − 1 + 3 x 3 = − 3 − 1 x_{3} = - \sqrt{3} - 1 x 3 = − 3 − 1 Данные корниx 3 = − 3 − 1 x_{3} = - \sqrt{3} - 1 x 3 = − 3 − 1 x 1 = − 2 x_{1} = -2 x 1 = − 2 x 2 = − 1 + 3 x_{2} = -1 + \sqrt{3} x 2 = − 1 + 3 являются точками смены знака неравенства в решениях. Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:x 0 ≤ x 3 x_{0} \leq x_{3} x 0 ≤ x 3 Возьмём например точкуx 0 = x 3 − 1 10 x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10} x 0 = x 3 − 10 1 = ___ 1
-1 - \/ 3 - --
10 =− 3 − 11 10 - \sqrt{3} - \frac{11}{10} − 3 − 10 11 подставляем в выражение2 x + x 3 + 4 x 2 − 4 ≤ 0 2 x + x^{3} + 4 x^{2} - 4 \leq 0 2 x + x 3 + 4 x 2 − 4 ≤ 0 3 2
/ ___ 1 \ / ___ 1 \ / ___ 1 \
|-1 - \/ 3 - --| + 4*|-1 - \/ 3 - --| + 2*|-1 - \/ 3 - --| - 4 <= 0
\ 10/ \ 10/ \ 10/ 3 2
31 / 11 ___\ ___ / 11 ___\
- -- + |- -- - \/ 3 | - 2*\/ 3 + 4*|- -- - \/ 3 | <= 0
5 \ 10 / \ 10 /
значит одно из решений нашего неравенства будет при:x ≤ − 3 − 1 x \leq - \sqrt{3} - 1 x ≤ − 3 − 1 _____ _____
\ / \
-------•-------•-------•-------
x3 x1 x2 Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс и т.д. Ответ:x ≤ − 3 − 1 x \leq - \sqrt{3} - 1 x ≤ − 3 − 1 x ≥ − 2 ∧ x ≤ − 1 + 3 x \geq -2 \wedge x \leq -1 + \sqrt{3} x ≥ − 2 ∧ x ≤ − 1 + 3
Решение неравенства на графике
-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 5.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -50 50
/ / ___\ / ___ \\
Or\And\-2 <= x, x <= -1 + \/ 3 /, And\x <= -1 - \/ 3 , -oo < x// ( − 2 ≤ x ∧ x ≤ − 1 + 3 ) ∨ ( x ≤ − 3 − 1 ∧ − ∞ < x ) \left(-2 \leq x \wedge x \leq -1 + \sqrt{3}\right) \vee \left(x \leq - \sqrt{3} - 1 \wedge -\infty < x\right) ( − 2 ≤ x ∧ x ≤ − 1 + 3 ) ∨ ( x ≤ − 3 − 1 ∧ − ∞ < x ) ___ ___
(-oo, -1 - \/ 3 ] U [-2, -1 + \/ 3 ] x ∈ ( − ∞ , − 3 − 1 ] ∪ [ − 2 , − 1 + 3 ] x \in \left(-\infty, - \sqrt{3} - 1\right] \cup \left[-2, -1 + \sqrt{3}\right] x ∈ ( − ∞ , − 3 − 1 ] ∪ [ − 2 , − 1 + 3 ]