4*x^2-11*x-3>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4*x^2-11*x-3>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       2                
    4*x  - 11*x - 3 >= 0
    $$4 x^{2} - 11 x - 3 \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$4 x^{2} - 11 x - 3 \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4 x^{2} - 11 x - 3 = 0$$
    Решаем:
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 4$$
    $$b = -11$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-11)^2 - 4 * (4) * (-3) = 169

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{7}{20}$$
    =
    $$- \frac{7}{20}$$
    подставляем в выражение
    $$4 x^{2} - 11 x - 3 \geq 0$$
           2   11*(-7)         
    4*-7/20  - ------- - 3 >= 0
                  20           

    67     
    -- >= 0
    50     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{1}{4}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{1}{4}$$
    $$x \geq 3$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(3 <= x, x < oo), And(x <= -1/4, -oo < x))
    $$\left(3 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq - \frac{1}{4} \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -1/4] U [3, oo)
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{4}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$