4*x^2-11*x-3>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4*x^2-11*x-3>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   2                
4*x  - 11*x - 3 >= 0

$$4 x^{2} - 11 x - 3 \geq 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$4 x^{2} - 11 x - 3 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 x^{2} - 11 x - 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -11$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-11)^2 - 4 * (4) * (-3) = 169

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{7}{20}$$
=
$$- \frac{7}{20}$$
подставляем в выражение
$$4 x^{2} - 11 x - 3 \geq 0$$

       2   11*(-7)         
4*-7/20  - ------- - 3 >= 0
              20           

67     
-- >= 0
50     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{1}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{1}{4}$$
$$x \geq 3$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(3 <= x, x < oo), And(x <= -1/4, -oo < x))

$$\left(3 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq - \frac{1}{4} \wedge -\infty < x\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -1/4] U [3, oo)

$$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{4}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$