2*cos(x)^2+3*cos(x)+1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+3*cos(x)+1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2                      
2*cos (x) + 3*cos(x) + 1 > 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 2 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 > 0$$
$$3 \cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} + 1 > 0$$

         /1    pi\        2/1    pi\    
1 - 3*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| > 0
         \10   3 /         \10   3 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{2 \pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x_1      x_2      x_3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{2 \pi}{3}$$
$$x > \pi \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

  /   /            2*pi\     /4*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < ----|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \             3  /     \ 3                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{2 \pi}{3}\right) \vee \left(\frac{4 \pi}{3} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    2*pi     4*pi       
[0, ----) U (----, 2*pi)
     3        3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$

График