Решите неравенство 2*cos(x)^2+3*cos(x)+1>0 (2 умножить на косинус от (х) в квадрате плюс 3 умножить на косинус от (х) плюс 1 больше 0) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

2*cos(x)^2+3*cos(x)+1>0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+3*cos(x)+1>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
         2                      
    2*cos (x) + 3*cos(x) + 1 > 0
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1 > 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    преобразуем
    $$3 \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} + 2 = 0$$
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = 3$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$w_{2} = -1$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \pi$$
    $$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} + 1 > 0$$
    $$3 \cos{\left (- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right )} + 1 > 0$$
             /1    pi\        2/1    pi\    
    1 - 3*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| > 0
             \10   3 /         \10   3 /    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \frac{2 \pi}{3}$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x > \pi \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /             2*pi\
    And|-oo < x, x < ----|
       \              3  /
    $$-\infty < x \wedge x < \frac{2 \pi}{3}$$
    Быстрый ответ 2 [src]
          2*pi 
    (-oo, ----)
           3   
    $$x \in \left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right)$$
    График
    2*cos(x)^2+3*cos(x)+1>0 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/c48d712439/6b1e7a05dd/78133f94daa1/im.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: