(x+6)*(2*x-5)*(x-4)^2>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+6)*(2*x-5)*(x-4)^2>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
                             2    
    (x + 6)*(2*x - 5)*(x - 4)  > 0
    $$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 6 = 0$$
    $$x - 4 = 0$$
    $$2 x - 5 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 6 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -6$$
    Получим ответ: x1 = -6
    2.
    $$x - 4 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 4$$
    Получим ответ: x2 = 4
    3.
    $$2 x - 5 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$2 x = 5$$
    Разделим обе части ур-ния на 2
    x = 5 / (2)

    Получим ответ: x3 = 5/2
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = 4$$
    $$x_{3} = \frac{5}{2}$$
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = 4$$
    $$x_{3} = \frac{5}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{3} = \frac{5}{2}$$
    $$x_{2} = 4$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} > 0$$
    $$\left(- \frac{61}{10} + 6\right) \left(\frac{-122}{10} 1 - 5\right) \left(- \frac{61}{10} - 4\right)^{2} > 0$$
    438643    
    ------ > 0
     2500     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -6$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------ο-------ο-------ο-------
           x1      x3      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -6$$
    $$x > \frac{5}{2} \wedge x < 4$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -6), And(5/2 < x, x < 4), And(4 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -6\right) \vee \left(\frac{5}{2} < x \wedge x < 4\right) \vee \left(4 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -6) U (5/2, 4) U (4, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -6\right) \cup \left(\frac{5}{2}, 4\right) \cup \left(4, \infty\right)$$