(x+6)*(2*x-5)*(x-4)^2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+6)*(2*x-5)*(x-4)^2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

                         2    
(x + 6)*(2*x - 5)*(x - 4)  > 0

$$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 6 = 0$$
$$x - 4 = 0$$
$$2 x - 5 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 6 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -6$$
Получим ответ: x1 = -6
2.
$$x - 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x2 = 4
3.
$$2 x - 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = 5$$
Разделим обе части ур-ния на 2

x = 5 / (2)

Получим ответ: x3 = 5/2
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = -6$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 6\right) \left(2 x - 5\right) \left(x - 4\right)^{2} > 0$$
$$\left(- \frac{61}{10} + 6\right) \left(\frac{-122}{10} 1 - 5\right) \left(- \frac{61}{10} - 4\right)^{2} > 0$$

438643    
------ > 0
 2500     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -6$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -6$$
$$x > \frac{5}{2} \wedge x < 4$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-oo < x, x < -6), And(5/2 < x, x < 4), And(4 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -6\right) \vee \left(\frac{5}{2} < x \wedge x < 4\right) \vee \left(4 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -6) U (5/2, 4) U (4, oo)

$$x \in \left(-\infty, -6\right) \cup \left(\frac{5}{2}, 4\right) \cup \left(4, \infty\right)$$