(5*x-2)*(-2*x-1)*(4-x)*(x-7)>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (5*x-2)*(-2*x-1)*(4-x)*(x-7)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (5*x - 2)*(-2*x - 1)*(4 - x)*(x - 7) > 0
    $$\left(- 2 x - 1\right) \left(5 x - 2\right) \left(- x + 4\right) \left(x - 7\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(- 2 x - 1\right) \left(5 x - 2\right) \left(- x + 4\right) \left(x - 7\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- 2 x - 1\right) \left(5 x - 2\right) \left(- x + 4\right) \left(x - 7\right) = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{2}{5}$$
    $$x_{3} = 4$$
    $$x_{4} = 7$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{2}{5}$$
    $$x_{3} = 4$$
    $$x_{4} = 7$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{2}{5}$$
    $$x_{3} = 4$$
    $$x_{4} = 7$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{3}{5}$$
    =
    $$- \frac{3}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- 2 x - 1\right) \left(5 x - 2\right) \left(- x + 4\right) \left(x - 7\right) > 0$$
    /5*(-3)    \ /  2*(-3)    \                          
    |------ - 2|*|- ------ - 1|*(4 - -3/5)*(-3/5 - 7) > 0
    \  5       / \    5       /                          

    874    
    --- > 0
     25    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{1}{2}$$
     _____           _____           _____          
          \         /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{1}{2}$$
    $$x > \frac{2}{5} \wedge x < 4$$
    $$x > 7$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < -1/2), And(2/5 < x, x < 4), And(7 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}\right) \vee \left(\frac{2}{5} < x \wedge x < 4\right) \vee \left(7 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -1/2) U (2/5, 4) U (7, oo)
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{2}{5}, 4\right) \cup \left(7, \infty\right)$$