3^(x-2)>pi^x (неравенство) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼 Укажите решение неравенства: 3^(x-2)>pi^x (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:3 x − 2 > π x 3^{x - 2} > \pi^{x} 3 x − 2 > π x Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:3 x − 2 = π x 3^{x - 2} = \pi^{x} 3 x − 2 = π x Решаем:x 1 = log ( 3 2 log ( 3 π ) ) x_{1} = \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} x 1 = log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) x 1 = log ( 3 2 log ( 3 π ) ) x_{1} = \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} x 1 = log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) Данные корниx 1 = log ( 3 2 log ( 3 π ) ) x_{1} = \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} x 1 = log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) являются точками смены знака неравенства в решениях. Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:x 0 < x 1 x_{0} < x_{1} x 0 < x 1 Возьмём например точкуx 0 = x 1 − 1 10 x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10} x 0 = x 1 − 10 1 =log ( 3 2 log ( 3 π ) ) + − 1 10 \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} + - \frac{1}{10} log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) + − 10 1 =log ( 3 2 log ( 3 π ) ) − 1 10 \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} - \frac{1}{10} log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) − 10 1 подставляем в выражение3 x − 2 > π x 3^{x - 2} > \pi^{x} 3 x − 2 > π x 3 log ( 3 2 log ( 3 π ) ) + − 1 10 − 2 > π log ( 3 2 log ( 3 π ) ) + − 1 10 3^{\log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} + - \frac{1}{10} - 2} > \pi^{\log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} + - \frac{1}{10}} 3 l o g ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) +− 10 1 − 2 > π l o g ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) +− 10 1 / 2 \ / 2 \
| -------| | -------|
| /3 \| | /3 \|
| log|--|| | log|--||
21 | \pi/| > 1 | \pi/|
- -- + log\3 / - -- + log\3 /
10 10
3 pi
значит решение неравенства будет при:x < log ( 3 2 log ( 3 π ) ) x < \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} x < log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) _____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике
0 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 50000000
/ / 2 \\
| | -------||
| | /3 \||
| | log|--|||
| | \pi/||
And\-oo < x, x < log\3 // − ∞ < x ∧ x < log ( 3 2 log ( 3 π ) ) -\infty < x \wedge x < \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )} − ∞ < x ∧ x < log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) / 2 \
| -------|
| /3 \|
| log|--||
| \pi/|
(-oo, log\3 /) x ∈ ( − ∞ , log ( 3 2 log ( 3 π ) ) ) x \in \left(-\infty, \log{\left (3^{\frac{2}{\log{\left (\frac{3}{\pi} \right )}}} \right )}\right) x ∈ ( − ∞ , log ( 3 l o g ( π 3 ) 2 ) )