4^x+2^x<12 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x+2^x<12 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 x    x     
4  + 2  < 12

$$2^{x} + 4^{x} < 12$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$2^{x} + 4^{x} < 12$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 4^{x} = 12$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 4^{x} = 12$$
или
$$2^{x} + 4^{x} - 12 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} + v - 12 = 0$$
или
$$v^{2} + v - 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -12$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = -4$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 4^{x} < 12$$
$$\frac{1}{4^{\frac{41}{10}}} + \frac{1}{2^{\frac{41}{10}}} < 12$$

 9/10    4/5     
2       2        
----- + ---- < 12
  32    512      
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -4$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -4$$
$$x > 3$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

   /             log(3)\
And|-oo < x, x < ------|
   \             log(2)/

$$-\infty < x \wedge x < \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

      log(3) 
(-oo, ------)
      log(2) 

$$x \in \left(-\infty, \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)$$