4^x+2^x<12 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4^x+2^x<12 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     x    x     
    4  + 2  < 12
    $$2^{x} + 4^{x} < 12$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$2^{x} + 4^{x} < 12$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2^{x} + 4^{x} = 12$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$2^{x} + 4^{x} = 12$$
    или
    $$2^{x} + 4^{x} - 12 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 2^{x}$$
    получим
    $$v^{2} + v - 12 = 0$$
    или
    $$v^{2} + v - 12 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 1$$
    $$c = -12$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = 3$$
    $$v_{2} = -4$$
    делаем обратную замену
    $$2^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -4$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -4$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -4$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$2^{x} + 4^{x} < 12$$
    $$\frac{1}{4^{\frac{41}{10}}} + \frac{1}{2^{\frac{41}{10}}} < 12$$
     9/10    4/5     
    2       2        
    ----- + ---- < 12
      32    512      
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -4$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -4$$
    $$x > 3$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
       /             log(3)\
    And|-oo < x, x < ------|
       \             log(2)/
    $$-\infty < x \wedge x < \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
          log(3) 
    (-oo, ------)
          log(2) 
    $$x \in \left(-\infty, \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)$$