4^x+2^x<12 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4^x+2^x<12 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     x    x     
    4  + 2  < 12
    2x+4x<122^{x} + 4^{x} < 12
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    2x+4x<122^{x} + 4^{x} < 12
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    2x+4x=122^{x} + 4^{x} = 12
    Решаем:
    Дано уравнение:
    2x+4x=122^{x} + 4^{x} = 12
    или
    (2x+4x)12=0\left(2^{x} + 4^{x}\right) - 12 = 0
    Сделаем замену
    v=2xv = 2^{x}
    получим
    v2+v12=0v^{2} + v - 12 = 0
    или
    v2+v12=0v^{2} + v - 12 = 0
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    v1=Db2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    v2=Db2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=1b = 1
    c=12c = -12
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    v1=3v_{1} = 3
    Упростить
    v2=4v_{2} = -4
    Упростить
    делаем обратную замену
    2x=v2^{x} = v
    или
    x=log(v)log(2)x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
    x1=3x_{1} = 3
    x2=4x_{2} = -4
    x1=3x_{1} = 3
    x2=4x_{2} = -4
    Данные корни
    x2=4x_{2} = -4
    x1=3x_{1} = 3
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x2x_{0} < x_{2}
    Возьмём например точку
    x0=x2110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
    =
    4110-4 - \frac{1}{10}
    =
    4110- \frac{41}{10}
    подставляем в выражение
    2x+4x<122^{x} + 4^{x} < 12
    144110+124110<12\frac{1}{4^{\frac{41}{10}}} + \frac{1}{2^{\frac{41}{10}}} < 12
     9/10    4/5     
    2       2        
    ----- + ---- < 12
      32    512      
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x<4x < -4
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    x<4x < -4
    x>3x > 3
    Решение неравенства на графике
    -5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.00250
    Быстрый ответ [src]
        log(3)
    x < ------
        log(2)
    x<log(3)log(2)x < \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
    Быстрый ответ 2 [src]
          log(3) 
    (-oo, ------)
          log(2) 
    x in (,log(3)log(2))x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)
    График
    4^x+2^x<12 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/5/42/550e64dbee477cfbabcc3ac444746.png