|2*x-1|<|3*x+1| (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: |2*x-1|<|3*x+1| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    |2*x - 1| < |3*x + 1|
    $$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{3 x + 1}\right|$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{3 x + 1}\right|$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{2 x - 1}\right| = \left|{3 x + 1}\right|$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$2 x - 1 \geq 0$$
    $$3 x + 1 \geq 0$$
    или
    $$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$2 x - 1 - 3 x + 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x - 2 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = -2$$
    но x1 не удовлетворяет неравенству

    2.
    $$2 x - 1 \geq 0$$
    $$3 x + 1 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    3.
    $$2 x - 1 < 0$$
    $$3 x + 1 \geq 0$$
    или
    $$- \frac{1}{3} \leq x \wedge x < \frac{1}{2}$$
    получаем ур-ние
    $$- 3 x + 1 + - 2 x + 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- 5 x = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{2} = 0$$

    4.
    $$2 x - 1 < 0$$
    $$3 x + 1 < 0$$
    или
    $$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{3}$$
    получаем ур-ние
    $$- 2 x + 1 - - 3 x - 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x + 2 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = -2$$


    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = 0$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{3 x + 1}\right|$$
    $$\left|{\frac{-42}{10} 1 - 1}\right| < \left|{\frac{-63}{10} 1 + 1}\right|$$
           53
    26/5 < --
           10

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -2$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -2$$
    $$x > 0$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < -2), And(0 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -2) U (0, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(0, \infty\right)$$