|2*x-1|<|3*x+1| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |2*x-1|<|3*x+1| (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

|2*x - 1| < |3*x + 1|

$$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{3 x + 1}\right|$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{3 x + 1}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{2 x - 1}\right| = \left|{3 x + 1}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$2 x - 1 \geq 0$$
$$3 x + 1 \geq 0$$
или
$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$2 x - 1 - 3 x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -2$$
но x1 не удовлетворяет неравенству

2.
$$2 x - 1 \geq 0$$
$$3 x + 1 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$2 x - 1 < 0$$
$$3 x + 1 \geq 0$$
или
$$- \frac{1}{3} \leq x \wedge x < \frac{1}{2}$$
получаем ур-ние
$$- 3 x + 1 + - 2 x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 5 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = 0$$

4.
$$2 x - 1 < 0$$
$$3 x + 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{3}$$
получаем ур-ние
$$- 2 x + 1 - - 3 x - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -2$$


$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{3 x + 1}\right|$$
$$\left|{\frac{-42}{10} 1 - 1}\right| < \left|{\frac{-63}{10} 1 + 1}\right|$$

       53
26/5 < --
       10

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -2$$
$$x > 0$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-oo < x, x < -2), And(0 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -2) U (0, oo)

$$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(0, \infty\right)$$