cos(x)<=1/2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: cos(x)<=1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    cos(x) <= 1/2
    $$\cos{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\cos{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    Или
    $$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n + \frac{\pi}{3} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$\cos{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
    $$\cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{3} + - \frac{1}{10} \right )} \leq \frac{1}{2}$$
       /  1    pi       \       
    cos|- -- + -- + pi*n| <= 1/2
       \  10   3        /       

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x \geq \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /pi             \
    And|-- <= x, x < oo|
       \3              /
    $$\frac{\pi}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     pi     
    [--, oo)
     3      
    $$x \in \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$