x+x^2<=4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+x^2<=4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2     
x + x  <= 4

$$x^{2} + x \leq 4$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} + x \leq 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + x = 4$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + x = 4$$
в
$$x^{2} + x - 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-4) = 17

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

        ____     
  1   \/ 17    1 
- - - ------ - --
  2     2      10

=
$$- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x \leq 4$$

                                       2     
        ____        /        ____     \      
  1   \/ 17    1    |  1   \/ 17    1 |      
- - - ------ - -- + |- - - ------ - --|  <= 4
  2     2      10   \  2     2      10/      

                    2              
      /        ____\      ____     
  3   |  3   \/ 17 |    \/ 17  <= 4
- - + |- - - ------|  - ------     
  5   \  5     2   /      2        

но

                    2              
      /        ____\      ____     
  3   |  3   \/ 17 |    \/ 17  >= 4
- - + |- - - ------|  - ------     
  5   \  5     2   /      2        

Тогда
$$x \leq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /             ____          ____     \
   |       1   \/ 17     1   \/ 17      |
And|x <= - - + ------, - - - ------ <= x|
   \       2     2       2     2        /

$$x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \leq x$$

Быстрый ответ 2

         ____          ____ 
   1   \/ 17     1   \/ 17  
[- - - ------, - - + ------]
   2     2       2     2    

$$x \in \left[- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$