x+x^2<=4 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: x+x^2<=4 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2 x + x <= 4
$$x^{2} + x \leq 4$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$x^{2} + x \leq 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + x = 4$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{2} + x = 4$$
в
$$x^{2} + x - 4 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -4$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x \leq 4$$
но
Тогда
$$x \leq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x^{2} + x \leq 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + x = 4$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{2} + x = 4$$
в
$$x^{2} + x - 4 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -4$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (1) * (-4) = 17
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
____ 1 \/ 17 1 - - - ------ - -- 2 2 10
=
$$- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x \leq 4$$
2
____ / ____ \
1 \/ 17 1 | 1 \/ 17 1 |
- - - ------ - -- + |- - - ------ - --| <= 4
2 2 10 \ 2 2 10/ 2
/ ____\ ____
3 | 3 \/ 17 | \/ 17 <= 4
- - + |- - - ------| - ------
5 \ 5 2 / 2 но
2
/ ____\ ____
3 | 3 \/ 17 | \/ 17 >= 4
- - + |- - - ------| - ------
5 \ 5 2 / 2 Тогда
$$x \leq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
/ ____ ____ \ | 1 \/ 17 1 \/ 17 | And|x <= - - + ------, - - - ------ <= x| \ 2 2 2 2 /
$$x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \leq x$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
____ ____ 1 \/ 17 1 \/ 17 [- - - ------, - - + ------] 2 2 2 2
$$x \in \left[- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$