x+x^2<=4 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x+x^2<=4 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         2     
    x + x  <= 4
    $$x^{2} + x \leq 4$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x^{2} + x \leq 4$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x^{2} + x = 4$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$x^{2} + x = 4$$
    в
    $$x^{2} + x - 4 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 1$$
    $$c = -4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (1) * (-4) = 17

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
            ____     
      1   \/ 17    1 
    - - - ------ - --
      2     2      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$x^{2} + x \leq 4$$
                                           2     
            ____        /        ____     \      
      1   \/ 17    1    |  1   \/ 17    1 |      
    - - - ------ - -- + |- - - ------ - --|  <= 4
      2     2      10   \  2     2      10/      

                        2              
          /        ____\      ____     
      3   |  3   \/ 17 |    \/ 17  <= 4
    - - + |- - - ------|  - ------     
      5   \  5     2   /      2        

    но
                        2              
          /        ____\      ____     
      3   |  3   \/ 17 |    \/ 17  >= 4
    - - + |- - - ------|  - ------     
      5   \  5     2   /      2        

    Тогда
    $$x \leq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /             ____          ____     \
       |       1   \/ 17     1   \/ 17      |
    And|x <= - - + ------, - - - ------ <= x|
       \       2     2       2     2        /
    $$x \leq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} \leq x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             ____          ____ 
       1   \/ 17     1   \/ 17  
    [- - - ------, - - + ------]
       2     2       2     2    
    $$x \in \left[- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$