7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 / 2\           2      
 \x /      1 - x       
7     + 3*7       >= 22

$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} = 22$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
Данные корни
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=

    _________     
  \/ log(21)    1 
- ----------- - --
     ________   10
   \/ log(7)      

=
$$- \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$

 /                    2\                              2      
 |/    _________     \ |          /    _________     \       
 ||  \/ log(21)    1 | |          |  \/ log(21)    1 |       
 ||- ----------- - --| |      1 - |- ----------- - --|       
 ||     ________   10| |          |     ________   10|       
 \\   \/ log(7)      / /          \   \/ log(7)      /       
7                        + 3*7                          >= 22

 /                    2\                              2      
 |/         _________\ |          /         _________\       
 ||  1    \/ log(21) | |          |  1    \/ log(21) |       
 ||- -- - -----------| |      1 - |- -- - -----------|  >= 22
 ||  10      ________| |          |  10      ________|       
 \\        \/ log(7) / /          \        \/ log(7) /       
7                        + 3*7                               

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$

Быстрый ответ

  /   /        _________          \     /  _________             \       \
  |   |     -\/ log(21)           |     |\/ log(21)              |       |
Or|And|x <= -------------, -oo < x|, And|----------- <= x, x < oo|, x = 0|
  |   |         ________          |     |   ________             |       |
  \   \       \/ log(7)           /     \ \/ log(7)              /       /

$$\left(x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = 0$$

Быстрый ответ 2

         _________              _________     
      -\/ log(21)             \/ log(21)      
(-oo, -------------] U {0} U [-----------, oo)
          ________               ________     
        \/ log(7)              \/ log(7)      

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}\right] \cup \left\{0\right\} \cup \left[\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}, \infty\right)$$