7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (неравенство) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼 Укажите решение неравенства: 7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:7 x 2 + 3 ⋅ 7 − x 2 + 1 ≥ 22 7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22 7 x 2 + 3 ⋅ 7 − x 2 + 1 ≥ 22 Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:7 x 2 + 3 ⋅ 7 − x 2 + 1 = 22 7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} = 22 7 x 2 + 3 ⋅ 7 − x 2 + 1 = 22 Решаем:x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x_{2} = 0 x 2 = 0 x 3 = − log ( 21 ) log ( 7 ) x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x 3 = − log ( 7 ) log ( 21 ) x 4 = log ( 21 ) log ( 7 ) x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x 4 = log ( 7 ) log ( 21 ) x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 3 = − log ( 21 ) log ( 7 ) x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x 3 = − log ( 7 ) log ( 21 ) x 4 = log ( 21 ) log ( 7 ) x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x 4 = log ( 7 ) log ( 21 ) Данные корниx 3 = − log ( 21 ) log ( 7 ) x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x 3 = − log ( 7 ) log ( 21 ) x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 4 = log ( 21 ) log ( 7 ) x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x 4 = log ( 7 ) log ( 21 ) являются точками смены знака неравенства в решениях. Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:x 0 ≤ x 3 x_{0} \leq x_{3} x 0 ≤ x 3 Возьмём например точкуx 0 = x 3 − 1 10 x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10} x 0 = x 3 − 10 1 = _________
\/ log(21) 1
- ----------- - --
________ 10
\/ log(7) =− log ( 21 ) log ( 7 ) − 1 10 - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} - \frac{1}{10} − log ( 7 ) log ( 21 ) − 10 1 подставляем в выражение7 x 2 + 3 ⋅ 7 − x 2 + 1 ≥ 22 7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22 7 x 2 + 3 ⋅ 7 − x 2 + 1 ≥ 22 / 2\ 2
|/ _________ \ | / _________ \
|| \/ log(21) 1 | | | \/ log(21) 1 |
||- ----------- - --| | 1 - |- ----------- - --|
|| ________ 10| | | ________ 10|
\\ \/ log(7) / / \ \/ log(7) /
7 + 3*7 >= 22 / 2\ 2
|/ _________\ | / _________\
|| 1 \/ log(21) | | | 1 \/ log(21) |
||- -- - -----------| | 1 - |- -- - -----------| >= 22
|| 10 ________| | | 10 ________|
\\ \/ log(7) / / \ \/ log(7) /
7 + 3*7 значит одно из решений нашего неравенства будет при:x ≤ − log ( 21 ) log ( 7 ) x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x ≤ − log ( 7 ) log ( 21 ) _____ _____
\ / \
-------•-------•-------•-------
x3 x1 x4 Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс и т.д. Ответ:x ≤ − log ( 21 ) log ( 7 ) x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x ≤ − log ( 7 ) log ( 21 ) x ≥ 0 ∧ x ≤ log ( 21 ) log ( 7 ) x \geq 0 \wedge x \leq \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} x ≥ 0 ∧ x ≤ log ( 7 ) log ( 21 )
Решение неравенства на графике
-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 5.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0 500
/ / _________ \ / _________ \ \
| | -\/ log(21) | |\/ log(21) | |
Or|And|x <= -------------, -oo < x|, And|----------- <= x, x < oo|, x = 0|
| | ________ | | ________ | |
\ \ \/ log(7) / \ \/ log(7) / / ( x ≤ − log ( 21 ) log ( 7 ) ∧ − ∞ < x ) ∨ ( log ( 21 ) log ( 7 ) ≤ x ∧ x < ∞ ) ∨ x = 0 \left(x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = 0 ( x ≤ − log ( 7 ) log ( 21 ) ∧ − ∞ < x ) ∨ ( log ( 7 ) log ( 21 ) ≤ x ∧ x < ∞ ) ∨ x = 0 _________ _________
-\/ log(21) \/ log(21)
(-oo, -------------] U {0} U [-----------, oo)
________ ________
\/ log(7) \/ log(7) x ∈ ( − ∞ , − log ( 21 ) log ( 7 ) ] ∪ { 0 } ∪ [ log ( 21 ) log ( 7 ) , ∞ ) x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}\right] \cup \left\{0\right\} \cup \left[\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}, \infty\right) x ∈ ( − ∞ , − log ( 7 ) log ( 21 ) ] ∪ { 0 } ∪ [ log ( 7 ) log ( 21 ) , ∞ )