7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: 7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
/ 2\ 2 \x / 1 - x 7 + 3*7 >= 22
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} = 22$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
Данные корни
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$- \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} = 22$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
Данные корни
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
_________
\/ log(21) 1
- ----------- - --
________ 10
\/ log(7) =
$$- \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
/ 2\ 2 |/ _________ \ | / _________ \ || \/ log(21) 1 | | | \/ log(21) 1 | ||- ----------- - --| | 1 - |- ----------- - --| || ________ 10| | | ________ 10| \\ \/ log(7) / / \ \/ log(7) / 7 + 3*7 >= 22
/ 2\ 2 |/ _________\ | / _________\ || 1 \/ log(21) | | | 1 \/ log(21) | ||- -- - -----------| | 1 - |- -- - -----------| >= 22 || 10 ________| | | 10 ________| \\ \/ log(7) / / \ \/ log(7) / 7 + 3*7
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
_____ _____
\ / \
-------•-------•-------•-------
x3 x1 x4Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
/ / _________ \ / _________ \ \ | | -\/ log(21) | |\/ log(21) | | Or|And|x <= -------------, -oo < x|, And|----------- <= x, x < oo|, x = 0| | | ________ | | ________ | | \ \ \/ log(7) / \ \/ log(7) / /
$$\left(x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = 0$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
_________ _________
-\/ log(21) \/ log(21)
(-oo, -------------] U {0} U [-----------, oo)
________ ________
\/ log(7) \/ log(7)
$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}\right] \cup \left\{0\right\} \cup \left[\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}, \infty\right)$$