7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 7^(x^2)+3*7^(1-x^2)>=22 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     / 2\           2      
     \x /      1 - x       
    7     + 3*7       >= 22
    $$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} = 22$$
    Решаем:
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = 0$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    Данные корни
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
        _________     
      \/ log(21)    1 
    - ----------- - --
         ________   10
       \/ log(7)      

    =
    $$- \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$7^{x^{2}} + 3 \cdot 7^{- x^{2} + 1} \geq 22$$
     /                    2\                              2      
     |/    _________     \ |          /    _________     \       
     ||  \/ log(21)    1 | |          |  \/ log(21)    1 |       
     ||- ----------- - --| |      1 - |- ----------- - --|       
     ||     ________   10| |          |     ________   10|       
     \\   \/ log(7)      / /          \   \/ log(7)      /       
    7                        + 3*7                          >= 22

     /                    2\                              2      
     |/         _________\ |          /         _________\       
     ||  1    \/ log(21) | |          |  1    \/ log(21) |       
     ||- -- - -----------| |      1 - |- -- - -----------|  >= 22
     ||  10      ________| |          |  10      ________|       
     \\        \/ log(7) / /          \        \/ log(7) /       
    7                        + 3*7                               

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------•-------•-------•-------
           x3      x1      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    $$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /        _________          \     /  _________             \       \
      |   |     -\/ log(21)           |     |\/ log(21)              |       |
    Or|And|x <= -------------, -oo < x|, And|----------- <= x, x < oo|, x = 0|
      |   |         ________          |     |   ________             |       |
      \   \       \/ log(7)           /     \ \/ log(7)              /       /
    $$\left(x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = 0$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             _________              _________     
          -\/ log(21)             \/ log(21)      
    (-oo, -------------] U {0} U [-----------, oo)
              ________               ________     
            \/ log(7)              \/ log(7)      
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}\right] \cup \left\{0\right\} \cup \left[\frac{\sqrt{\log{\left (21 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (7 \right )}}}, \infty\right)$$