|x^3-3*x^2+4*x-1|>=|x^3-5*x^2+11*x+1| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x^3-3*x^2+4*x-1|>=|x^3-5*x^2+11*x+1| (множество решений неравенства)

Вы ввели

| 3      2          |    | 3      2           |
|x  - 3*x  + 4*x - 1| >= |x  - 5*x  + 11*x + 1|

$$\left|{4 x + x^{3} - 3 x^{2} - 1}\right| \geq \left|{11 x + x^{3} - 5 x^{2} + 1}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{4 x + x^{3} - 3 x^{2} - 1}\right| \geq \left|{11 x + x^{3} - 5 x^{2} + 1}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{4 x + x^{3} - 3 x^{2} - 1}\right| = \left|{11 x + x^{3} - 5 x^{2} + 1}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1 \geq 0$$
$$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1 \geq 0$$
или
$$\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1, 0\right)} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1 + x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x^{2} - 7 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}$$
но x2 не удовлетворяет неравенству

2.
$$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1 \geq 0$$
$$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1 < 0$$
$$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1 \geq 0$$
или
$$\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1, 0\right)} \leq x \wedge x < \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1, 0\right)}$$
получаем ур-ние
$$- x^{3} - - 3 x^{2} - 4 x + 1 - x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 15 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 2 - \frac{\sqrt{14} i}{2}$$
но x4 не удовлетворяет неравенству
$$x_{5} = 2 + \frac{\sqrt{14} i}{2}$$
но x5 не удовлетворяет неравенству

4.
$$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1 < 0$$
$$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 5 x^{2} + 11 x + 1, 0\right)}$$
получаем ур-ние
$$- x^{3} - - 3 x^{2} - 4 x + 1 - - x^{3} - - 5 x^{2} - 11 x - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x^{2} + 7 x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{6} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}$$
но x6 не удовлетворяет неравенству
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}$$


$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}$$
Данные корни
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=

      ____     
7   \/ 65    1 
- - ------ - --
4     4      10

=
$$- \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{33}{20}$$
подставляем в выражение
$$\left|{4 x + x^{3} - 3 x^{2} - 1}\right| \geq \left|{11 x + x^{3} - 5 x^{2} + 1}\right|$$

|                 3                      2                          |    |                 3                      2                           |
|/      ____     \      /      ____     \      /      ____     \    |    |/      ____     \      /      ____     \       /      ____     \    |
||7   \/ 65    1 |      |7   \/ 65    1 |      |7   \/ 65    1 |    |    ||7   \/ 65    1 |      |7   \/ 65    1 |       |7   \/ 65    1 |    |
||- - ------ - --|  - 3*|- - ------ - --|  + 4*|- - ------ - --| - 1| >= ||- - ------ - --|  - 5*|- - ------ - --|  + 11*|- - ------ - --| + 1|
|\4     4      10/      \4     4      10/      \4     4      10/    |    |\4     4      10/      \4     4      10/       \4     4      10/    |

                             3                  2                         3                  2            
                /       ____\      /       ____\             /       ____\      /       ____\         ____
  28     ____   |33   \/ 65 |      |33   \/ 65 |  >=   383   |33   \/ 65 |      |33   \/ 65 |    11*\/ 65 
- -- + \/ 65  - |-- - ------|  + 3*|-- - ------|     - --- - |-- - ------|  + 5*|-- - ------|  + ---------
  5             \20     4   /      \20     4   /        20   \20     4   /      \20     4   /        4    

но

                             3                  2                        3                  2            
                /       ____\      /       ____\            /       ____\      /       ____\         ____
  28     ____   |33   \/ 65 |      |33   \/ 65 |  <   383   |33   \/ 65 |      |33   \/ 65 |    11*\/ 65 
- -- + \/ 65  - |-- - ------|  + 3*|-- - ------|    - --- - |-- - ------|  + 5*|-- - ------|  + ---------
  5             \20     4   /      \20     4   /       20   \20     4   /      \20     4   /        4    

Тогда
$$x \leq - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4} \wedge x \leq 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4} \wedge x \leq 0$$
$$x \geq \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}$$

Быстрый ответ

  /   /              ____     \     /      ____             \\
  |   |        7   \/ 65      |     |7   \/ 65              ||
Or|And|x <= 0, - - ------ <= x|, And|- + ------ <= x, x < oo||
  \   \        4     4        /     \4     4                //

$$\left(x \leq 0 \wedge - \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4} \leq x\right) \vee \left(\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

       ____              ____     
 7   \/ 65         7   \/ 65      
[- - ------, 0] U [- + ------, oo)
 4     4           4     4        

$$x \in \left[- \frac{\sqrt{65}}{4} + \frac{7}{4}, 0\right] \cup \left[\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4}, \infty\right)$$

График