|x^2-2*x|+|x-6|<=|x^2-x-6| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x^2-2*x|+|x-6|<=|x^2-x-6| (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

| 2      |              | 2        |
|x  - 2*x| + |x - 6| <= |x  - x - 6|

$$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| = \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x - 6 \geq 0$$
$$x^{2} - 2 x \geq 0$$
$$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

2.
$$x - 6 \geq 0$$
$$x^{2} - 2 x \geq 0$$
$$- x^{2} + x + 6 < 0$$
или
$$6 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - 6 + x^{2} - 2 x - - -1 x^{2} - x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
тождество
решение на этом интервале:
любое x на данном интервале

3.
$$x - 6 \geq 0$$
$$x^{2} - 2 x < 0$$
$$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x - 6 \geq 0$$
$$x^{2} - 2 x < 0$$
$$- x^{2} + x + 6 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

5.
$$x - 6 < 0$$
$$x^{2} - 2 x \geq 0$$
$$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
или
$$\left(-2 \leq x \wedge x \leq 0\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x \leq 3\right)$$
получаем ур-ние
$$- x + 6 + x^{2} - 2 x - - x^{2} + x + 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x^{2} - 4 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

6.
$$x - 6 < 0$$
$$x^{2} - 2 x \geq 0$$
$$- x^{2} + x + 6 < 0$$
или
$$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 6\right)$$
получаем ур-ние
$$- x + 6 + x^{2} - 2 x - - -1 x^{2} - x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x + 12 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 6$$
но x3 не удовлетворяет неравенству

7.
$$x - 6 < 0$$
$$x^{2} - 2 x < 0$$
$$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
или
$$0 < x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + 6 + - x^{2} - - 2 x - - x^{2} + x + 6 = 0$$
упрощаем, получаем
тождество
решение на этом интервале:
любое x на данном интервале

8.
$$x - 6 < 0$$
$$x^{2} - 2 x < 0$$
$$- x^{2} + x + 6 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем


$$x_{1} = 6 \leq x \wedge x < \infty$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 0 < x \wedge x < 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$

|     2   2*(-1)|                  |     2            |
|-1/10  - ------| + |-1/10 - 6| <= |-1/10  - -1/10 - 6|
|           10  |                                      

631    589
--- <= ---
100    100

но

631    589
--- >= ---
100    100

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 2$$
Но вспомним, что решения уравнения с модулем были:
$$0$$
$$2$$
$$6 \leq x \wedge x < \infty$$
$$0 < x \wedge x < 2$$
Ответ:
$$0 \leq x \wedge x \leq 2$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(0 <= x, x <= 2), And(6 <= x, x < oo))

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq 2\right) \vee \left(6 \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

[0, 2] U [6, oo)

$$x \in \left[0, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$