Дано неравенство: ∣x−6∣+x2−2x≤x2−x−6 Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние: ∣x−6∣+x2−2x=x2−x−6 Решаем: Для каждого выражения под модулем в ур-нии допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0", решаем получившиеся ур-ния.
1. x−6≥0 x2−2x≥0 −x2+x+6≥0 Неравенства не выполняются, пропускаем
2. x−6≥0 x2−2x≥0 −x2+x+6<0 или 6≤x∧x<∞ получаем ур-ние x−6+x2−2x−−−1x2−x−6=0 упрощаем, получаем тождество решение на этом интервале: любое x на данном интервале
3. x−6≥0 x2−2x<0 −x2+x+6≥0 Неравенства не выполняются, пропускаем
4. x−6≥0 x2−2x<0 −x2+x+6<0 Неравенства не выполняются, пропускаем
5. x−6<0 x2−2x≥0 −x2+x+6≥0 или (−2≤x∧x≤0)∨(2≤x∧x≤3) получаем ур-ние −x+6+x2−2x−−x2+x+6=0 упрощаем, получаем 2x2−4x=0 решение на этом интервале: x1=0 x2=2
6. x−6<0 x2−2x≥0 −x2+x+6<0 или (−∞<x∧x<−2)∨(3<x∧x<6) получаем ур-ние −x+6+x2−2x−−−1x2−x−6=0 упрощаем, получаем −2x+12=0 решение на этом интервале: x3=6 но x3 не удовлетворяет неравенству
7. x−6<0 x2−2x<0 −x2+x+6≥0 или 0<x∧x<2 получаем ур-ние −x+6+−x2−−2x−−x2+x+6=0 упрощаем, получаем тождество решение на этом интервале: любое x на данном интервале
8. x−6<0 x2−2x<0 −x2+x+6<0 Неравенства не выполняются, пропускаем
x1=6≤x∧x<∞ x2=0 x3=2 x4=0<x∧x<2 x1=0 x2=2 Данные корни x1=0 x2=2 являются точками смены знака неравенства в решениях. Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: x0≤x1 Возьмём например точку x0=x1−101 = −101 = −101 подставляем в выражение ∣x−6∣+x2−2x≤x2−x−6
Тогда x≤0 не выполняется значит одно из решений нашего неравенства будет при: x≥0∧x≤2 Но вспомним, что решения уравнения с модулем были: 0 2 6≤x∧x<∞ 0<x∧x<2 Ответ: 0≤x∧x≤2