|x^2-2*x|+|x-6|<=|x^2-x-6| (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: |x^2-2*x|+|x-6|<=|x^2-x-6| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    | 2      |              | 2        |
    |x  - 2*x| + |x - 6| <= |x  - x - 6|
    $$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| = \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x - 6 \geq 0$$
    $$x^{2} - 2 x \geq 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    2.
    $$x - 6 \geq 0$$
    $$x^{2} - 2 x \geq 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 < 0$$
    или
    $$6 \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$x - 6 + x^{2} - 2 x - - -1 x^{2} - x - 6 = 0$$
    упрощаем, получаем
    тождество
    решение на этом интервале:
    любое x на данном интервале

    3.
    $$x - 6 \geq 0$$
    $$x^{2} - 2 x < 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    4.
    $$x - 6 \geq 0$$
    $$x^{2} - 2 x < 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    5.
    $$x - 6 < 0$$
    $$x^{2} - 2 x \geq 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
    или
    $$\left(-2 \leq x \wedge x \leq 0\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x \leq 3\right)$$
    получаем ур-ние
    $$- x + 6 + x^{2} - 2 x - - x^{2} + x + 6 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$2 x^{2} - 4 x = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = 2$$

    6.
    $$x - 6 < 0$$
    $$x^{2} - 2 x \geq 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 < 0$$
    или
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 6\right)$$
    получаем ур-ние
    $$- x + 6 + x^{2} - 2 x - - -1 x^{2} - x - 6 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- 2 x + 12 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = 6$$
    но x3 не удовлетворяет неравенству

    7.
    $$x - 6 < 0$$
    $$x^{2} - 2 x < 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 \geq 0$$
    или
    $$0 < x \wedge x < 2$$
    получаем ур-ние
    $$- x + 6 + - x^{2} - - 2 x - - x^{2} + x + 6 = 0$$
    упрощаем, получаем
    тождество
    решение на этом интервале:
    любое x на данном интервале

    8.
    $$x - 6 < 0$$
    $$x^{2} - 2 x < 0$$
    $$- x^{2} + x + 6 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем


    $$x_{1} = 6 \leq x \wedge x < \infty$$
    $$x_{2} = 0$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{4} = 0 < x \wedge x < 2$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|$$
    |     2   2*(-1)|                  |     2            |
    |-1/10  - ------| + |-1/10 - 6| <= |-1/10  - -1/10 - 6|
    |           10  |                                      

    631    589
    --- <= ---
    100    100

    но
    631    589
    --- >= ---
    100    100

    Тогда
    $$x \leq 0$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq 0 \wedge x \leq 2$$
    Но вспомним, что решения уравнения с модулем были:
    $$0$$
    $$2$$
    $$6 \leq x \wedge x < \infty$$
    $$0 < x \wedge x < 2$$
    Ответ:
    $$0 \leq x \wedge x \leq 2$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(0 <= x, x <= 2), And(6 <= x, x < oo))
    $$\left(0 \leq x \wedge x \leq 2\right) \vee \left(6 \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    [0, 2] U [6, oo)
    $$x \in \left[0, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$