|x^2-2*x|+|x-6|<=|x^2-x-6| (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: |x^2-2*x|+|x-6|<=|x^2-x-6| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    | 2      |              | 2        |
    |x  - 2*x| + |x - 6| <= |x  - x - 6|
    x6+x22xx2x6\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    x6+x22xx2x6\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    x6+x22x=x2x6\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| = \left|{x^{2} - x - 6}\right|
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    x60x - 6 \geq 0
    x22x0x^{2} - 2 x \geq 0
    x2+x+60- x^{2} + x + 6 \geq 0
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    2.
    x60x - 6 \geq 0
    x22x0x^{2} - 2 x \geq 0
    x2+x+6<0- x^{2} + x + 6 < 0
    или
    6xx<6 \leq x \wedge x < \infty
    получаем ур-ние
    x6+x22x1x2x6=0x - 6 + x^{2} - 2 x - - -1 x^{2} - x - 6 = 0
    упрощаем, получаем
    тождество
    решение на этом интервале:
    любое x на данном интервале

    3.
    x60x - 6 \geq 0
    x22x<0x^{2} - 2 x < 0
    x2+x+60- x^{2} + x + 6 \geq 0
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    4.
    x60x - 6 \geq 0
    x22x<0x^{2} - 2 x < 0
    x2+x+6<0- x^{2} + x + 6 < 0
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    5.
    x6<0x - 6 < 0
    x22x0x^{2} - 2 x \geq 0
    x2+x+60- x^{2} + x + 6 \geq 0
    или
    (2xx0)(2xx3)\left(-2 \leq x \wedge x \leq 0\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x \leq 3\right)
    получаем ур-ние
    x+6+x22xx2+x+6=0- x + 6 + x^{2} - 2 x - - x^{2} + x + 6 = 0
    упрощаем, получаем
    2x24x=02 x^{2} - 4 x = 0
    решение на этом интервале:
    x1=0x_{1} = 0
    x2=2x_{2} = 2

    6.
    x6<0x - 6 < 0
    x22x0x^{2} - 2 x \geq 0
    x2+x+6<0- x^{2} + x + 6 < 0
    или
    (<xx<2)(3<xx<6)\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 6\right)
    получаем ур-ние
    x+6+x22x1x2x6=0- x + 6 + x^{2} - 2 x - - -1 x^{2} - x - 6 = 0
    упрощаем, получаем
    2x+12=0- 2 x + 12 = 0
    решение на этом интервале:
    x3=6x_{3} = 6
    но x3 не удовлетворяет неравенству

    7.
    x6<0x - 6 < 0
    x22x<0x^{2} - 2 x < 0
    x2+x+60- x^{2} + x + 6 \geq 0
    или
    0<xx<20 < x \wedge x < 2
    получаем ур-ние
    x+6+x22xx2+x+6=0- x + 6 + - x^{2} - - 2 x - - x^{2} + x + 6 = 0
    упрощаем, получаем
    тождество
    решение на этом интервале:
    любое x на данном интервале

    8.
    x6<0x - 6 < 0
    x22x<0x^{2} - 2 x < 0
    x2+x+6<0- x^{2} + x + 6 < 0
    Неравенства не выполняются, пропускаем


    x1=6xx<x_{1} = 6 \leq x \wedge x < \infty
    x2=0x_{2} = 0
    x3=2x_{3} = 2
    x4=0<xx<2x_{4} = 0 < x \wedge x < 2
    x1=0x_{1} = 0
    x2=2x_{2} = 2
    Данные корни
    x1=0x_{1} = 0
    x2=2x_{2} = 2
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0x1x_{0} \leq x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    110- \frac{1}{10}
    =
    110- \frac{1}{10}
    подставляем в выражение
    x6+x22xx2x6\left|{x - 6}\right| + \left|{x^{2} - 2 x}\right| \leq \left|{x^{2} - x - 6}\right|
    |     2   2*(-1)|                  |     2            |
    |-1/10  - ------| + |-1/10 - 6| <= |-1/10  - -1/10 - 6|
    |           10  |                                      

    631    589
    --- <= ---
    100    100

    но
    631    589
    --- >= ---
    100    100

    Тогда
    x0x \leq 0
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x0x2x \geq 0 \wedge x \leq 2
    Но вспомним, что решения уравнения с модулем были:
    00
    22
    6xx<6 \leq x \wedge x < \infty
    0<xx<20 < x \wedge x < 2
    Ответ:
    0xx20 \leq x \wedge x \leq 2
    Решение неравенства на графике
    05-20-15-10-51015200500
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(0 <= x, x <= 2), And(6 <= x, x < oo))
    (0xx2)(6xx<)\left(0 \leq x \wedge x \leq 2\right) \vee \left(6 \leq x \wedge x < \infty\right)
    Быстрый ответ 2 [src]
    [0, 2] U [6, oo)
    x[0,2][6,)x \in \left[0, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)