(x-1)*(3-2*x)<=-6 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-1)*(3-2*x)<=-6 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

(x - 1)*(3 - 2*x) <= -6

$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) \leq -6$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) \leq -6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) = -6$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) = -6$$
в
$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) + 6 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) + 6 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- 2 x^{2} + 5 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 5$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-2) * (3) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 1\right) \left(- 2 x + 3\right) \leq -6$$

           /    2*(-3)\      
(-3/5 - 1)*|3 - ------| <= -6
           \      5   /      

-168       
----- <= -6
  25       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{1}{2}$$
$$x \geq 3$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(3 <= x, x < oo), And(x <= -1/2, -oo < x))

$$\left(3 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq - \frac{1}{2} \wedge -\infty < x\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -1/2] U [3, oo)

$$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$