sin(2*x)>-1/2 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: sin(2*x)>-1/2 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
sin(2*x) > -1/2
$$\sin{\left (2 x \right )} > - \frac{1}{2}$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дано неравенство:
$$\sin{\left (2 x \right )} > - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (2 x \right )} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = - \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$\pi n - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (2 x \right )} > - \frac{1}{2}$$
Тогда
$$x < \pi n - \frac{\pi}{12}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n - \frac{\pi}{12} \wedge x < \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$\sin{\left (2 x \right )} > - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (2 x \right )} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = - \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- + pi*n - -- 12 10
=
$$\pi n - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (2 x \right )} > - \frac{1}{2}$$
/ / pi 1 \\ sin|2*|- -- + pi*n - --|| > -1/2 \ \ 12 10//
/1 pi \
-sin|- + -- - 2*pi*n| > -1/2
\5 6 / Тогда
$$x < \pi n - \frac{\pi}{12}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n - \frac{\pi}{12} \wedge x < \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2
Решение неравенства на графике
[LaTeX]
Быстрый ответ
[LaTeX]
/ /-pi 7*pi\ /7*pi \\ Or|And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo|| \ \ 12 12 / \ 12 //
$$\left(- \frac{\pi}{12} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{12}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{12} < x \wedge x < \infty\right)$$
Быстрый ответ 2
[LaTeX]
-pi 7*pi 7*pi (----, ----) U (----, oo) 12 12 12
$$x \in \left(- \frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{12}, \infty\right)$$