1-4*sin(x)^2<0 (неравенство)

         2       
1 - 4*sin (x) < 0

$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 < 0$$

Дано неравенство:
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (1) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  6    10

=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 < 0$$

         2/  pi   1 \    
1 - 4*sin |- -- - --| < 0
          \  6    10/    

         2/1    pi\    
1 - 4*sin |-- + --| < 0
          \10   6 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{\pi}{6} \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$
$$x > \frac{7 \pi}{6}$$

  /   /             -pi \     /pi          5*pi\     /7*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              6  /     \6            6  /     \ 6              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \infty\right)$$

      -pi      pi  5*pi     7*pi     
(-oo, ----) U (--, ----) U (----, oo)
       6       6    6        6       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)$$