1-4*sin(x)^2<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 1-4*sin(x)^2<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
             2       
    1 - 4*sin (x) < 0
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    преобразуем
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -4$$
    $$b = 0$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (-4) * (1) = 16

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$w_{2} = \frac{1}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi   1 
    - -- - --
      6    10

    =
    $$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 < 0$$
             2/  pi   1 \    
    1 - 4*sin |- -- - --| < 0
              \  6    10/    

             2/1    pi\    
    1 - 4*sin |-- + --| < 0
              \10   6 /    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\pi}{6}$$
     _____           _____           _____          
          \         /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\pi}{6}$$
    $$x > \frac{\pi}{6} \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x > \frac{7 \pi}{6}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /             -pi \     /pi          5*pi\     /7*pi            \\
    Or|And|-oo < x, x < ----|, And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
      \   \              6  /     \6            6  /     \ 6              //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
          -pi      pi  5*pi     7*pi     
    (-oo, ----) U (--, ----) U (----, oo)
           6       6    6        6       
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)$$