1-4*sin(x)^2<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1-4*sin(x)^2<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

         2       
1 - 4*sin (x) < 0

$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (1) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} < 0$$
$$1 - 4 \sin^{2}{\left(- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} < 0$$

         2/1    pi\    
1 - 4*sin |-- + --| < 0
          \10   6 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{\pi}{6} \wedge x < \frac{5 \pi}{6}$$
$$x > \frac{7 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

  /   /pi          5*pi\     /7*pi          11*pi\\
Or|And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < -----||
  \   \6            6  /     \ 6              6  //

$$\left(\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \frac{11 \pi}{6}\right)$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi     7*pi  11*pi 
(--, ----) U (----, -----)
 6    6        6      6   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right)$$

График