x^2+a*x-2<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^2+a*x-2<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2              
    x  + a*x - 2 < 0
    $$a x + x^{2} - 2 < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$a x + x^{2} - 2 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$a x + x^{2} - 2 = 0$$
    Решаем:
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = a$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (a)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8 + a^2

    Уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    $$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    $$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    $$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    $$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    $$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    $$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
       ________         
      /      2          
    \/  8 + a     a   1 
    ----------- - - - --
         2        2   10

    =
    $$- \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$a x + x^{2} - 2 < 0$$
                          2                                   
    /   ________         \      /   ________         \        
    |  /      2          |      |  /      2          |        
    |\/  8 + a     a   1 |      |\/  8 + a     a   1 |        
    |----------- - - - --|  + a*|----------- - - - --| - 2 < 0
    \     2        2   10/      \     2        2   10/        

                                 2                                 
         /          ________    \      /          ________    \    
         |         /      2     |      |         /      2     |    
         |  1    \/  8 + a     a|      |  1    \/  8 + a     a| < 0
    -2 + |- -- + ----------- - -|  + a*|- -- + ----------- - -|    
         \  10        2        2/      \  10        2        2/    
        

    Тогда
    $$x < - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8} \wedge x < - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2