x^2+a*x-2<0 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: x^2+a*x-2<0 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2 x + a*x - 2 < 0
$$a x + x^{2} - 2 < 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$a x + x^{2} - 2 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$a x + x^{2} - 2 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = a$$
$$c = -2$$
, то
Уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$- \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$a x + x^{2} - 2 < 0$$
Тогда
$$x < - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8} \wedge x < - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$a x + x^{2} - 2 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$a x + x^{2} - 2 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = a$$
$$c = -2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(a)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8 + a^2
Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
$$x_{2} = - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
________
/ 2
\/ 8 + a a 1
----------- - - - --
2 2 10=
$$- \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$a x + x^{2} - 2 < 0$$
2 / ________ \ / ________ \ | / 2 | | / 2 | |\/ 8 + a a 1 | |\/ 8 + a a 1 | |----------- - - - --| + a*|----------- - - - --| - 2 < 0 \ 2 2 10/ \ 2 2 10/
2
/ ________ \ / ________ \
| / 2 | | / 2 |
| 1 \/ 8 + a a| | 1 \/ 8 + a a| < 0
-2 + |- -- + ----------- - -| + a*|- -- + ----------- - -|
\ 10 2 2/ \ 10 2 2/
Тогда
$$x < - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8} \wedge x < - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + 8}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2