5^(1/x)*2^x>10 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: 5^(1/x)*2^x>10 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x ___ x \/ 5 *2 > 10
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} = 10$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
подставляем в выражение
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x > \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} = 10$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
__________________________
/ 2 / log(16)\
- \/ log (10) - log\5 / + log(10) 1
----------------------------------------- - --
1 10
2*log (2) =
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
подставляем в выражение
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
1
----------------------------------------------
__________________________ __________________________
/ 2 / log(16)\ / 2 / log(16)\
- \/ log (10) - log\5 / + log(10) 1 - \/ log (10) - log\5 / + log(10) 1
----------------------------------------- - -- ----------------------------------------- - --
1 10 1 10
2*log (2) 2*log (2)
5 *2 > 10 1
------------------------------------------------
__________________________ __________________________
/ 2 / log(16)\ / 2 / log(16)\
1 - \/ log (10) - log\5 / + log(10) 1 - \/ log (10) - log\5 / + log(10) > 10
- -- + ----------------------------------------- - -- + -----------------------------------------
10 2*log(2) 10 2*log(2)
2 *5
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x > \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
/ / __________________________ \ / __________________________ \\ | | / 2 / log(16)\ | | / 2 / log(16)\ || | | - \/ log (10) - log\5 / + log(10)| | \/ log (10) - log\5 / + log(10) || Or|And|0 < x, x < -----------------------------------------|, And|x < oo, --------------------------------------- < x|| \ \ 2*log(2) / \ 2*log(2) //
$$\left(0 < x \wedge x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right) < x\right)$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
__________________________ __________________________
/ 2 / log(16)\ / 2 / log(16)\
- \/ log (10) - log\5 / + log(10) \/ log (10) - log\5 / + log(10)
(0, -----------------------------------------) U (---------------------------------------, oo)
2*log(2) 2*log(2)
$$x \in \left(0, \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)\right) \cup \left(\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right), \infty\right)$$