5^(1/x)*2^x>10 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^(1/x)*2^x>10 (множество решений неравенства)

Вы ввели

x ___  x     
\/ 5 *2  > 10

$$2^{x} 5^{1 \cdot \frac{1}{x}} > 10$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} = 10$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

     __________________________               
    /    2          / log(16)\                
- \/  log (10) - log\5       /  + log(10)   1 
----------------------------------------- - --
                     1                      10
                2*log (2)                     

=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
подставляем в выражение
$$2^{x} 5^{\frac{1}{x}} > 10$$

                       1                                                                            
 ----------------------------------------------                                                     
      __________________________                      __________________________                    
     /    2          / log(16)\                      /    2          / log(16)\                     
 - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)   1   - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)   1      
 ----------------------------------------- - --  ----------------------------------------- - --     
                      1                      10                       1                      10     
                 2*log (2)                                       2*log (2)                          
5                                              *2                                               > 10

                                                                          1                             
                                                   ------------------------------------------------     
             __________________________                        __________________________               
            /    2          / log(16)\                        /    2          / log(16)\                
   1    - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)    1    - \/  log (10) - log\5       /  + log(10) > 10
 - -- + -----------------------------------------  - -- + -----------------------------------------     
   10                    2*log(2)                    10                    2*log(2)                     
2                                                *5                                                     
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$
$$x > \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)$$

Быстрый ответ

  /   /                __________________________          \     /           __________________________              \\
  |   |               /    2          / log(16)\           |     |          /    2          / log(16)\               ||
  |   |           - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)|     |        \/  log (10) - log\5       /  + log(10)    ||
Or|And|0 < x, x < -----------------------------------------|, And|x < oo, --------------------------------------- < x||
  \   \                            2*log(2)                /     \                        2*log(2)                   //

$$\left(0 < x \wedge x < \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right) < x\right)$$

Быстрый ответ 2

         __________________________                  __________________________               
        /    2          / log(16)\                  /    2          / log(16)\                
    - \/  log (10) - log\5       /  + log(10)     \/  log (10) - log\5       /  + log(10)     
(0, -----------------------------------------) U (---------------------------------------, oo)
                     2*log(2)                                     2*log(2)                    

$$x \in \left(0, \frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(- \sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right)\right) \cup \left(\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}} \left(\sqrt{- \log{\left (5^{\log{\left (16 \right )}} \right )} + \log^{2}{\left (10 \right )}} + \log{\left (10 \right )}\right), \infty\right)$$

График