Решите неравенство log(x^2+4*x+5)/log(5)-log(_x)^2*(x^2+4*x+5)>=0 (логарифм от (х в квадрате плюс 4 умножить на х плюс 5) делить на логарифм от (5) минус логарифм от (_ х) в квадрате умножить на (х в квадрате плюс 4 умножить на х плюс 5) больше или равно 0) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

log(x^2+4*x+5)/log(5)-log(_x)^2*(x^2+4*x+5)>=0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(x^2+4*x+5)/log(5)-log(_x)^2*(x^2+4*x+5)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
       / 2          \                              
    log\x  + 4*x + 5/      2    / 2          \     
    ----------------- - log (x)*\x  + 4*x + 5/ >= 0
          log(5)                                   
    $$- \left(x^{2} + 4 x + 5\right) \log^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} \geq 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$- \left(x^{2} + 4 x + 5\right) \log^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- \left(x^{2} + 4 x + 5\right) \log^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$- \left(x^{2} + 4 x + 5\right) \log^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} = 0$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- x^{2} \log{\left (5 \right )} \log^{2}{\left (x \right )} - x \log{\left (625 \right )} \log^{2}{\left (x \right )} - \log{\left (3125 \right )} \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )}\right) = 0$$
    $$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- x^{2} \log{\left (5 \right )} \log^{2}{\left (x \right )} - x \log{\left (625 \right )} \log^{2}{\left (x \right )} - \log{\left (3125 \right )} \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )}\right) = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- w^{2} x^{2} \log{\left (5 \right )} - w^{2} x \log{\left (625 \right )} - w^{2} \log{\left (3125 \right )} + \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )}\right) = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$- w^{2} x^{2} - 4 w^{2} x - 5 w^{2} + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} = 0$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = - x^{2} - 4 x - 5$$
    $$b = 0$$
    $$c = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )}$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (-5 - x^2 - 4*x) * (log(5 + x^2 + 4*x)/log(5)) = -(-20 - 16*x - 4*x^2)*log(5 + x^2 + 4*x)/log(5)

    Уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{- \left(- 4 x^{2} - 16 x - 20\right) \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )}}}{\left(- 2 x^{2} - 8 x - 10\right) \sqrt{\log{\left (5 \right )}}}$$
    $$w_{2} = - \frac{\sqrt{- \left(- 4 x^{2} - 16 x - 20\right) \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )}}}{\left(- 2 x^{2} - 8 x - 10\right) \sqrt{\log{\left (5 \right )}}}$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
         -
         1
    x = e 

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -1.97063072087 + 0.927232613822 i$$
    $$x_{2} = 1.4226273104$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 1.4226273104$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1.4226273104$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$1.3226273104$$
    =
    $$1.3226273104$$
    подставляем в выражение
    $$- \left(x^{2} + 4 x + 5\right) \log^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} + 4 x + 5 \right )} \geq 0$$
       /            2                     \                                                               
    log\1.3226273104  + 4*1.3226273104 + 5/      2               /            2                     \     
    --------------------------------------- - log (1.3226273104)*\1.3226273104  + 4*1.3226273104 + 5/ >= 0
                       1                                                                                  
                    log (5)                                                                               

                         2.48822216769706     
    -0.941365050692362 + ---------------- >= 0
                              log(5)          

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 1.4226273104$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    График
    log(x^2+4*x+5)/log(5)-log(_x)^2*(x^2+4*x+5)>=0 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/e6e0693768/55271ca8f9/6366b6aef0d3/im.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: