sin(x)>=1/2 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(x)>=1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    sin(x) >= 1/2
    $$\sin{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$2 \pi n + \frac{\pi}{6} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x \right )} \geq \frac{1}{2}$$
    $$\sin{\left (2 \pi n + \frac{\pi}{6} + - \frac{1}{10} \right )} \geq \frac{1}{2}$$
       /  1    pi         \       
    sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= 1/2
       \  10   6          /       

    но
       /  1    pi         \      
    sin|- -- + -- + 2*pi*n| < 1/2
       \  10   6          /      

    Тогда
    $$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq 2 \pi n + \frac{\pi}{6} \wedge x \leq 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
       /pi            5*pi\
    And|-- <= x, x <= ----|
       \6              6  /
    $$\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
     pi  5*pi 
    [--, ----]
     6    6   
    $$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$