x-3*sqrt(x-4)-2>0 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: x-3*sqrt(x-4)-2>0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 = 0$$
$$- 3 \sqrt{x - 4} = - x + 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$9 x - 36 = \left(- x + 2\right)^{2}$$
$$9 x - 36 = x^{2} - 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 13 x - 40 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 13$$
$$c = -40$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
Т.к.
$$\sqrt{x - 4} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$$
и
$$\sqrt{x - 4} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} \geq 0$$
или
$$2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
Данные корни
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 > 0$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 5$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 5$$
$$x > 8$$
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 = 0$$
$$- 3 \sqrt{x - 4} = - x + 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$9 x - 36 = \left(- x + 2\right)^{2}$$
$$9 x - 36 = x^{2} - 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 13 x - 40 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 13$$
$$c = -40$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(13)^2 - 4 * (-1) * (-40) = 9
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
Т.к.
$$\sqrt{x - 4} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$$
и
$$\sqrt{x - 4} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} \geq 0$$
или
$$2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
Данные корни
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
=
$$\frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$x - 3 \sqrt{x - 4} - 2 > 0$$
________ 49 / 49 -- - 3* / -- - 4 - 2 > 0 10 \/ 10
____
29 9*\/ 10
-- - -------- > 0
10 10
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 5$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 5$$
$$x > 8$$
Решение неравенства на графике