6*sin(x)^2-sin(x)-1>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 6*sin(x)^2-sin(x)-1>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2                     
6*sin (x) - sin(x) - 1 >= 0

$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
преобразуем
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (6) * (-1) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{3}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
Данные корни
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=

-asin(1/3) - 1/10

=
$$- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \geq 0$$

     2                                                     
6*sin (-asin(1/3) - 1/10) - sin(-asin(1/3) - 1/10) - 1 >= 0

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) >= 0
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x4      x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$
$$x \geq \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$

Быстрый ответ

  /   /pi            5*pi\                                                                 \
Or|And|-- <= x, x <= ----|, And(x <= -asin(1/3), -oo < x), And(pi + asin(1/3) <= x, x < oo)|
  \   \6              6  /                                                                 /

$$\left(\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}\right) \vee \left(x \leq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

                     pi  5*pi                        
(-oo, -asin(1/3)] U [--, ----] U [pi + asin(1/3), oo)
                     6    6                          

$$x \in \left(-\infty, - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right] \cup \left[\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi, \infty\right)$$