log(3*x)<2 (неравенство)

log(3*x) < 2

$$\log{\left (3 x \right )} < 2$$

Дано неравенство:
$$\log{\left (3 x \right )} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left (3 x \right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left (3 x \right )} = 2$$
$$\log{\left (3 x \right )} = 2$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$3 x = e^{2}$$
упрощаем
$$3 x = e^{2}$$
$$x = \frac{e^{2}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{e^{2}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{e^{2}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{e^{2}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{2}}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{2}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left (3 x \right )} < 2$$
$$\log{\left (3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{2}}{3}\right) \right )} < 2$$

   /  3     2\    
log|- -- + e | < 2
   \  10     /    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{e^{2}}{3}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

   /              2\
   |             e |
And|-oo < x, x < --|
   \             3 /

$$-\infty < x \wedge x < \frac{e^{2}}{3}$$

       2 
      e  
(-oo, --)
      3  

$$x \in \left(-\infty, \frac{e^{2}}{3}\right)$$