(5*x^2-24*x-5)*(-x^2+3*x+4)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (5*x^2-24*x-5)*(-x^2+3*x+4)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

/   2           \ /   2          \    
\5*x  - 24*x - 5/*\- x  + 3*x + 4/ < 0

$$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) < 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$- x^{2} + 3 x + 4 = 0$$
$$5 x^{2} - 24 x - 5 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$- x^{2} + 3 x + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 3$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-1) * (4) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
2.
$$5 x^{2} - 24 x - 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 5$$
$$b = -24$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-24)^2 - 4 * (5) * (-5) = 676

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) < 0$$

/        2               \ /        2              \    
|  /-11 \    24*(-11)    | |  /-11 \    3*(-11)    |    
|5*|----|  - -------- - 5|*|- |----|  + ------- + 4| < 0
\  \ 10 /       10       / \  \ 10 /       10      /    

-27999     
------- < 0
  2000     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -1$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x4      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -1$$
$$x > - \frac{1}{5} \wedge x < 4$$
$$x > 5$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-oo < x, x < -1), And(-1/5 < x, x < 4), And(5 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -1\right) \vee \left(- \frac{1}{5} < x \wedge x < 4\right) \vee \left(5 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -1) U (-1/5, 4) U (5, oo)

$$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(- \frac{1}{5}, 4\right) \cup \left(5, \infty\right)$$