(5*x^2-24*x-5)*(-x^2+3*x+4)<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (5*x^2-24*x-5)*(-x^2+3*x+4)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    /   2           \ /   2          \    
    \5*x  - 24*x - 5/*\- x  + 3*x + 4/ < 0
    $$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$- x^{2} + 3 x + 4 = 0$$
    $$5 x^{2} - 24 x - 5 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$- x^{2} + 3 x + 4 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 3$$
    $$c = 4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (3)^2 - 4 * (-1) * (4) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 4$$
    2.
    $$5 x^{2} - 24 x - 5 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 5$$
    $$b = -24$$
    $$c = -5$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-24)^2 - 4 * (5) * (-5) = 676

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{3} = 5$$
    $$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 4$$
    $$x_{3} = 5$$
    $$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 4$$
    $$x_{3} = 5$$
    $$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{4} = - \frac{1}{5}$$
    $$x_{2} = 4$$
    $$x_{3} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- x^{2} + 3 x + 4\right) \left(5 x^{2} - 24 x - 5\right) < 0$$
    /        2               \ /        2              \    
    |  /-11 \    24*(-11)    | |  /-11 \    3*(-11)    |    
    |5*|----|  - -------- - 5|*|- |----|  + ------- + 4| < 0
    \  \ 10 /       10       / \  \ 10 /       10      /    

    -27999     
    ------- < 0
      2000     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -1$$
     _____           _____           _____          
          \         /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x4      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -1$$
    $$x > - \frac{1}{5} \wedge x < 4$$
    $$x > 5$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -1), And(-1/5 < x, x < 4), And(5 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -1\right) \vee \left(- \frac{1}{5} < x \wedge x < 4\right) \vee \left(5 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -1) U (-1/5, 4) U (5, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(- \frac{1}{5}, 4\right) \cup \left(5, \infty\right)$$