sqrt(-x^2-x+6)<=2*x (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sqrt(-x^2-x+6)<=2*x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       ______________       
      /    2                
    \/  - x  - x + 6  <= 2*x
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} \leq 2 x$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} \leq 2 x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} = 2 x$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} = 2 x$$
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} = 2 x$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$- x^{2} - x + 6 = 4 x^{2}$$
    $$- x^{2} - x + 6 = 4 x^{2}$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$- 5 x^{2} - x + 6 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -5$$
    $$b = -1$$
    $$c = 6$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (-5) * (6) = 121

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{6}{5}$$
    $$x_{2} = 1$$

    Т.к.
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} = 2 x$$
    и
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} \geq 0$$
    то
    $$2 x \geq 0$$
    или
    $$0 \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sqrt{- x^{2} - x + 6} \leq 2 x$$
       ____________________       
      /       2                2*9
    \/  - 9/10  - 9/10 + 6  <= ---
                                10

      _____       
    \/ 429        
    ------- <= 9/5
       10         
           

    но
      _____       
    \/ 429        
    ------- >= 9/5
       10         
           

    Тогда
    $$x \leq 1$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq 1$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(1 <= x, x <= 2), x = -6/5)
    $$\left(1 \leq x \wedge x \leq 2\right) \vee x = - \frac{6}{5}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    {-6/5} U [1, 2]
    $$x \in \left\{- \frac{6}{5}\right\} \cup \left[1, 2\right]$$