3*x-sqrt(18*x+1)+1>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 3*x-sqrt(18*x+1)+1>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
            __________         
    3*x - \/ 18*x + 1  + 1 >= 0
    $$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 = 0$$
    $$- \sqrt{18 x + 1} = - 3 x - 1$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$18 x + 1 = \left(- 3 x - 1\right)^{2}$$
    $$18 x + 1 = 9 x^{2} + 6 x + 1$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$- 9 x^{2} + 12 x = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -9$$
    $$b = 12$$
    $$c = 0$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (12)^2 - 4 * (-9) * (0) = 144

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{4}{3}$$

    Т.к.
    $$\sqrt{18 x + 1} = 3 x + 1$$
    и
    $$\sqrt{18 x + 1} \geq 0$$
    то
    $$3 x + 1 \geq 0$$
    или
    $$- \frac{1}{3} \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{4}{3}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{4}{3}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{4}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{4}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 \geq 0$$
                 _____________         
    3*(-1)      / 18*(-1)              
    ------ -   /  ------- + 1  + 1 >= 0
      10     \/      10                

               ___     
    7    2*I*\/ 5      
    -- - --------- >= 0
    10       5         
         

    Тогда
    $$x \leq 0$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{4}{3}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(4/3 <= x, x < oo), x = 0)
    $$\left(\frac{4}{3} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = 0$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    {0} U [4/3, oo)
    $$x \in \left\{0\right\} \cup \left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$