3*x-sqrt(18*x+1)+1>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3*x-sqrt(18*x+1)+1>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

        __________         
3*x - \/ 18*x + 1  + 1 >= 0

$$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 \geq 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 = 0$$
$$- \sqrt{18 x + 1} = - 3 x - 1$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$18 x + 1 = \left(- 3 x - 1\right)^{2}$$
$$18 x + 1 = 9 x^{2} + 6 x + 1$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 9 x^{2} + 12 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -9$$
$$b = 12$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(12)^2 - 4 * (-9) * (0) = 144

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$

Т.к.
$$\sqrt{18 x + 1} = 3 x + 1$$
и
$$\sqrt{18 x + 1} \geq 0$$
то
$$3 x + 1 \geq 0$$
или
$$- \frac{1}{3} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$3 x - \sqrt{18 x + 1} + 1 \geq 0$$

             _____________         
3*(-1)      / 18*(-1)              
------ -   /  ------- + 1  + 1 >= 0
  10     \/      10                

           ___     
7    2*I*\/ 5      
-- - --------- >= 0
10       5         
     

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{4}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(4/3 <= x, x < oo), x = 0)

$$\left(\frac{4}{3} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x = 0$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

{0} U [4/3, oo)

$$x \in \left\{0\right\} \cup \left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$