x+3+1/(x+1)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+3+1/(x+1)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

          1      
x + 3 + ----- < 0
        x + 1    

$$x + 3 + \frac{1}{x + 1} < 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$x + 3 + \frac{1}{x + 1} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + 3 + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + 3 + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
1 + x
получим:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 3 + \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
$$\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (1) * (4) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

x = -b/2a = -4/2/(1)

$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + 3 + \frac{1}{x + 1} < 0$$
$$\frac{1}{- \frac{21}{10} + 1} + - \frac{21}{10} + 3 < 0$$

-1/110 < 0

значит решение неравенства будет при:
$$x < -2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(-oo < x, x < -2), And(-2 < x, x < -1))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < -1\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -2) U (-2, -1)

$$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-2, -1\right)$$