x+3+1/(x+1)<0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x+3+1/(x+1)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
              1      
    x + 3 + ----- < 0
            x + 1    
    $$x + 3 + \frac{1}{x + 1} < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x + 3 + \frac{1}{x + 1} < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x + 3 + \frac{1}{x + 1} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$x + 3 + \frac{1}{x + 1} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    1 + x
    получим:
    $$\left(x + 1\right) \left(x + 3 + \frac{1}{x + 1}\right) = 0$$
    $$\left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + 1 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 4$$
    $$c = 4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (4)^2 - 4 * (1) * (4) = 0

    Т.к. D = 0, то корень всего один.
    x = -b/2a = -4/2/(1)

    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{1} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x + 3 + \frac{1}{x + 1} < 0$$
    $$\frac{1}{- \frac{21}{10} + 1} + - \frac{21}{10} + 3 < 0$$
    -1/110 < 0

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < -2$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < -2), And(-2 < x, x < -1))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < -1\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -2) U (-2, -1)
    $$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-2, -1\right)$$