|x^2+5*x|<6 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: |x^2+5*x|<6 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    | 2      |    
    |x  + 5*x| < 6
    $$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x^{2} + 5 x}\right| = 6$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x^{2} + 5 x \geq 0$$
    или
    $$\left(0 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -5 \wedge -\infty < x\right)$$
    получаем ур-ние
    $$x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = 1$$

    2.
    $$x^{2} + 5 x < 0$$
    или
    $$-5 < x \wedge x < 0$$
    получаем ур-ние
    $$- x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{4} = -2$$


    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{4} = -2$$
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{4} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -6$$
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{4} = -2$$
    $$x_{2} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
    $$\left|{\frac{-305}{10} 1 + \left(- \frac{61}{10}\right)^{2}}\right| < 6$$
    671    
    --- < 6
    100    

    но
    671    
    --- > 6
    100    

    Тогда
    $$x < -6$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -6 \wedge x < -3$$
             _____           _____  
            /     \         /     \  
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x3      x4      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -6 \wedge x < -3$$
    $$x > -2 \wedge x < 1$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-6 < x, x < -3), And(-2 < x, x < 1))
    $$\left(-6 < x \wedge x < -3\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < 1\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-6, -3) U (-2, 1)
    $$x \in \left(-6, -3\right) \cup \left(-2, 1\right)$$