|x^2+5*x|<6 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: |x^2+5*x|<6 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
| 2 | |x + 5*x| < 6
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| = 6$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x^{2} + 5 x \geq 0$$
или
$$\left(0 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -5 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
2.
$$x^{2} + 5 x < 0$$
или
$$-5 < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
Данные корни
$$x_{1} = -6$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
$$\left|{\frac{-305}{10} 1 + \left(- \frac{61}{10}\right)^{2}}\right| < 6$$
но
Тогда
$$x < -6$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -6 \wedge x < -3$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -6 \wedge x < -3$$
$$x > -2 \wedge x < 1$$
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| = 6$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x^{2} + 5 x \geq 0$$
или
$$\left(0 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -5 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
2.
$$x^{2} + 5 x < 0$$
или
$$-5 < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
Данные корни
$$x_{1} = -6$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} + 5 x}\right| < 6$$
$$\left|{\frac{-305}{10} 1 + \left(- \frac{61}{10}\right)^{2}}\right| < 6$$
671 --- < 6 100
но
671 --- > 6 100
Тогда
$$x < -6$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -6 \wedge x < -3$$
_____ _____
/ \ / \
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
x1 x3 x4 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -6 \wedge x < -3$$
$$x > -2 \wedge x < 1$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
Or(And(-6 < x, x < -3), And(-2 < x, x < 1))
$$\left(-6 < x \wedge x < -3\right) \vee \left(-2 < x \wedge x < 1\right)$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
(-6, -3) U (-2, 1)
$$x \in \left(-6, -3\right) \cup \left(-2, 1\right)$$