log(x)^2-2*log(x)-3>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(x)^2-2*log(x)-3>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       2                      
    log (x) - 2*log(x) - 3 > 0
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
    преобразуем
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -2$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = 3$$
    $$w_{2} = -1$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
         -
         1
    x = e 

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = e^{-1}$$
    $$x_{2} = e^{3}$$
    $$x_{1} = e^{-1}$$
    $$x_{2} = e^{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = e^{-1}$$
    $$x_{2} = e^{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
    подставляем в выражение
    $$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 > 0$$
       2/ -1   1 \        / -1   1 \        
    log |e   - --| - 2*log|e   - --| - 3 > 0
        \      10/        \      10/        

            2/  1     -1\        /  1     -1\    
    -3 + log |- -- + e  | - 2*log|- -- + e  | > 0
             \  10      /        \  10      /    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < e^{-1}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < e^{-1}$$
    $$x > e^{3}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /              -1\     /         3    \\
    Or\And\-oo < x, x < e  /, And\x < oo, e  < x//
    $$\left(-\infty < x \wedge x < e^{-1}\right) \vee \left(x < \infty \wedge e^{3} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           -1      3     
    (-oo, e  ) U (e , oo)
    $$x \in \left(-\infty, e^{-1}\right) \cup \left(e^{3}, \infty\right)$$