log(x)^2-2*log(x)-3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x)^2-2*log(x)-3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2                      
log (x) - 2*log(x) - 3 > 0

$$\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 3 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 3 = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 3 > 0$$
$$\left(-1\right) 3 + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)}^{2} - 2 \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} > 0$$

        2/  1     -1\        /  1     -1\    
-3 + log |- -- + e  | - 2*log|- -- + e  | > 0
         \  10      /        \  10      /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < e^{-1}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < e^{-1}$$
$$x > e^{3}$$

Быстрый ответ

  /   /            -1\     /         3    \\
Or\And\0 < x, x < e  /, And\x < oo, e  < x//

$$\left(0 < x \wedge x < e^{-1}\right) \vee \left(x < \infty \wedge e^{3} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

     -1      3     
(0, e  ) U (e , oo)

$$x\ in\ \left(0, e^{-1}\right) \cup \left(e^{3}, \infty\right)$$