log(x)^2-2*log(x)-3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x)^2-2*log(x)-3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[LaTeX]

   2                      
log (x) - 2*log(x) - 3 > 0

$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 > 0$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дано неравенство:
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
преобразуем
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
подставляем в выражение
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} - 3 > 0$$

   2/ -1   1 \        / -1   1 \        
log |e   - --| - 2*log|e   - --| - 3 > 0
    \      10/        \      10/        

        2/  1     -1\        /  1     -1\    
-3 + log |- -- + e  | - 2*log|- -- + e  | > 0
         \  10      /        \  10      /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < e^{-1}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < e^{-1}$$
$$x > e^{3}$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

  /   /              -1\     /         3    \\
Or\And\-oo < x, x < e  /, And\x < oo, e  < x//

$$\left(-\infty < x \wedge x < e^{-1}\right) \vee \left(x < \infty \wedge e^{3} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

[LaTeX]

       -1      3     
(-oo, e  ) U (e , oo)

$$x \in \left(-\infty, e^{-1}\right) \cup \left(e^{3}, \infty\right)$$